浅谈物理高考的热点 ——“超纲”的弹性势能

纵观历年的高考物理试题，含弹簧模型的试题所占的比重相当高，仅今年全国Ⅰ卷和II卷共有4题，高考的命题专家常以弹簧作为载体设计出各类型的试题，其涉及静力学问题、动力学问题、振动问题、功能问题、动量守恒和能量守恒问题等。贯穿到整个高中物理力学知识的体系中。从受力角度看，弹簧的弹力是变力；从能量角度看，弹簧是个储存能量的元件。因此，含弹簧的模型的问题能很好地考查考生的分析综合能力，故备受高考命题专家的喜爱。下面以涉及弹性势能的计算题进行分析与探讨，以期能给教师和考生的高考复习带来指导的作用。

    弹簧由于形变而具有相应的弹性势能，弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、弹簧的形变量有关。自1997年以来全国高考试卷涉及到与弹簧弹性势能相关的计算题，并且在2000年、2005年（全国卷Ⅰ）、2016年（全国卷Ⅰ）等多年重现，这些题都是高考的压轴题，得分率低。现行的高中物理教材中未引入弹性势能的计算公式E_p=kx²，高考考试大纲对弹性势能的要求为Ⅰ级，对弹性势能的表达式不作要求，给人以一种“超纲”的感觉，解决这类问题时并非是需要学习过或见过的，在具体物理情境中学生可以自行推理得出解答结果，以此考查考生综合分析和应用的能力。

一、欣赏与解析“全国高考试卷涉及到与弹簧弹性势能相关计算题”的两种题型

（一）题目中不要求求出弹簧弹性势能的具体数值   

方法是：假设相应状态的弹性势能值E_p但不求解的策略，将弹簧的弹性势能E_p或弹性势能的变化量ΔE_p作为中间参量进行分析推理，从而使问题巧妙地解决。

分析  物块的运动过程为先做自由落体运动，机械能守恒。物块与钢板碰撞时，因碰撞的时间极短，系统所受外力远小于相互作用的内力，遵守动量守恒定律。碰撞后，弹簧、物块与钢板组成的系统机械能守恒。两种情况碰撞的弹簧初始压缩量均为x₀，它们弹性势能Ep相同。根据动量守恒定律、机械能守恒定律分别研究物块质量为m和2m的情况，再求解物块向上运动到达最高点O点的距离。

解  设物块与钢板碰撞前瞬间的速度为v₀，由机械能守恒定律有：

mg 3x₀＝mv₀²    ，      v₀＝

设质量为m的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v₁，由动量守恒定律得：

mv₀＝(m＋m) v₁              v₁＝

设弹簧的压缩量为x₀时的弹性势能为E_p，对于物块和钢板碰撞后直至回到O点的过程，由机械能守恒定律有：E_p＋×2m×v₁²＝2mgx_0 。

设质量为2m的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v₂，物块与钢板回到O点时所具有的速度为v₃，由动量守恒定律得：2mv₀＝(2m＋m)v_2 。

由机械能守恒定律有：

E_p＋×3m×v₂²＝3mgx₀＋×3m×v₃²     

解得：v₃＝

当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力的作用，加速度为g；一过O点，钢板就会受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g，由于物块与钢板不粘连，故在O点处物块与钢板分离；分离后，物块以速度v₃开始做竖直上抛运动，由机械能守恒定律有：

·2mv₃²＝2mgh  ，    解得：h＝

所以物块向上运动所到达的最高点与O点之间的距离为。

点评  两次下压至回到O点的过程中，速度并不相同，但利用两次弹簧对应的初末状态相同，可知：两次弹性势能的的增加量相同。即：

 ΔE_p＝×2m×v₁² -2mgx₀

 ΔE_p＝×3m×v₂² -×3m×v₃² -3mgx₀ 

此题涉及的物理过程有四个，用到的物理规律和公式有四个，它将动量守恒和机械能守恒完美地统一在一起，交替使用，是一道考查考生能力的好试题。

（2）弹簧压缩和伸长的形变不同时，但不同过程对应的弹簧初末态相同，利用弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量可知：弹簧的弹性势能的改变量相等。

    例2

分析  物体m₃下降的高度等于弹簧的形变量，（弹簧开始时被物体m₁压缩，后来被物体m₂拉伸）这个过程中物体m₃减少的重力势能转化为物体m₁增加的重力势能和弹簧弹性势能的变化量。第二个过程是当m₂物体刚好离开地面时m₁+m₃共同下降的高度等于第一个过程中弹簧的形变量，在这个过程中m₁+m₃减少的重力势能转化为m₁+m₃和m₁的动能及m₁增加的重力势能、弹簧的弹性势能的变化量，由于两次弹簧的形变量相同，所以弹性势能的变化量相同。

解  开始时，A、B都静止，设弹簧的压缩量为x₁，有

kx₁＝m₁g                      ①

挂上C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x₂，有

kx₂＝m₂g                      ②

B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增量量为

ΔE_p＝m₃g(x₁＋x₂)－m₁g(x₁＋x₂)         ③

C换成D后，当B离地时弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得：

(m₁＋m₃)v²＋m₁v²＝(m₁＋m₃)g(x₁＋x₂)－m₁g(x₁＋x₂)－ΔE_p     ④

由③④式得：(2m₁＋m₃)v²＝m₁g(x₁＋x₂)              ⑤

由①②⑤式得：

v＝              ⑥

此题还可用能量补偿法求解：

根据题意，设弹簧的总形变量即物体A上升的距离为

h＝　　⑦

第二次释放D与第一次释放C相比较，根据能量守恒，可得

m₁gh＝( 2m₁＋m₃)v ²    ⑧

由⑦、⑧得   v＝g  。

点评  弹性势能的变化取决于弹簧的始末形变量，与过程无关。弹簧的压缩量或伸长量相同时，弹性势能相等；前后两次的过程中，弹簧弹性势能的增加量是相同的，这是联系两个过程的过渡量。此解法准确简捷，在深刻挖掘题中的隐含条件后，妙用能量守恒，这得建立在扎实的物理学科素养之上。

（二） 题目中要求求出弹簧弹性势能的具体数值

方法一是：根据能量守恒定律，即其他形式能的变化量等于弹簧弹性势能的变化量，并关注到弹簧原长时的弹簧弹性势能为零。方法二是：根据动能定理和弹簧弹力做功与弹性势能变化量的关系。

例３

分析  小球C与小球B作用的过程中两个小球组成的系统动量守恒。B与C结合成D与小球A、弹簧组成的系统，当A、D速度相同的时候弹簧的压缩量最大，这个过程中系统动量守恒，两个小球减少的动能转化为弹簧的弹性势能。在A球没有离开P以前弹簧的弹性势能转化为小球D的动能，当弹簧恢复到原长时D小球的动能最大，然后在弹簧被拉长的过程中小球D减速运动，小球A加速运动，当他们的速度相同的时候弹簧的伸长量最大。从A离开P到A、D共速的过程中系统动量守恒，系统减少的动能转化为弹簧的弹性势能。

解 （1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为，由动量守恒，有

                  ⑨ 

当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为，由动量守恒，有

                ⑩

　　由⑨、⑩两式得A的速度　　      。

　（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为，由能量守恒，有

　　         

　　撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D的动能，设D的速度为，则有    。      

当弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为，由动量守恒，有  。     

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为，由能量守恒，有

　　           （11）

　　解以上各式得　   。      

    点评   本题根据能量守恒定律，即其他形式能的变化量等于弹簧弹性势能的变化量，并关注到弹簧原长时的弹簧弹性势能为０。关键要知道当弹簧伸到最长时，其势能最大。

例４

(3)　略。

分析  （1）对物块从C到B的过程分析，由牛顿第二定律和运动学公式列式或动能定理可求得物块到达B点的速度；（2）对物块从C到E再回到的全过程应用功能关系和由物块从C点运动到E点的过程运用动能定理即可求出E点弹簧的弹性势能。

解（1）选P为研究对象，受力分析如图5所示：

设P加速度为，其垂直于斜面方向受力平衡：

沿斜面方向，由牛顿第二定律得：

且，可得：

对CB过程，由  ；

代入数据得B点速度： 。

（2）P从C点出发，再返回，分析整段过程：

由C到Ｆ，重力势能变化量：

设点离点的距离为S，从C到F，产生的热：

 。

  。

解得：S=R。

研究P从C点运动到E点过程：

；

；

动能变化量： ；

由动能定理： 。

代入得： 。

由，到E点时弹性势能为。

此题也可用能量守恒法求解：

研究P从C点运动到E点的过程：

。

点评 　由动能定理与弹力做功与弹性势能变化的关系或能量守恒求解弹簧弹性势能的具体数值。

二、对高考复习的启示

弹簧类试题是训练学生的物理思维、开发学生学习潜能的好试题，因此也就成为历年来物理高考中的一类重要的试题；这就为我们高考复习提供了以下的启示。

1 . 要注意超纲擦边知识点

斜抛运动、引力势能、弹性势能、柱状电容的非匀强电场、完全弹性碰撞的公式、霍尔效应、双杆切割磁感线出现反电动势、安培力与运动速度的关系等等。Ⅰ类考点与Ⅱ类考点的界限并不十分明显，偶尔出现超纲或者擦边超纲的题目，甚至出现大学普通物理学的内容，但是用中学的解法是可以解决的，这就要求学生要不断提升物理学科的核心素养。

    2 . 要重视历年高考试题的示范作用

高考试题是经过命题专家精心设计的，不回避陈题. 往年高考考过的试题经过“改造”再考。高考试题无论从设问方式、难易程度、试题结构上均是高考说明的最好“样题”。应重视历年高考试题在复习课中的示范作用，通过对高考试题的分析，从不同角度设置全新的物理情景或者在旧模型中经常变换过程情景，使陈题翻新，充分发挥复习题的功能，充分挖掘典型中的知识点、能力点，力争做到一题多解、一题多变、多题归一。