余弦定理的证明 余弦定理是三角形中三个内角和定理的推论,其现代形式如下:任意三角形三边分别为a、b、c,三角分别为A、B、C,则有 a²=b²+c²-2bccosA。 已知在三角形ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中R为三角形ABC外接圆的半径。 证明余弦定理的方法有很多种,以下是其中一种比较简单的证明方法: 因为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 所以a²=(2RsinA)²,b²=(2RsinB)²,c²=(2RsinC)²。 又因为(2RsinA)²=(2R)²(sinA)²,(2RsinB)²=(2R)²(sinB)²,(2RsinC)²=(2R)²(sinC)²。 而由正弦定理可知,sinA、sinB、sinC分别是三个内角的大小, 因此有: a²=(2R)²(sinA)²,b²=(2R)²(sinB)²,c²=(2R)²(sinC)²。 化简得到a²=4R²(1-cos2A),b²=4R²(1-cos2B),c²=4R²(1-cos2C)。 而由余弦定理可知,cosA=(b²+c²-a²)/(2bc),cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。 因此有: 4R²(1-cos2A)=4R²(1-cosA), 4R²(1-cos2B)=4R²(1-cosB), 4R²(1-cos2C)=4R²(1-cosC)。 将上述三个等式相加得到: 4R²(1-cos2A)+4R²(1-cosA)=4R²(1-cosB)+4R²(1-cosB)=4R²(1-cosC)+4R²(1-cosC)。 化简得到: 4R²=4R²【(1-cosA)+(1-cosB)+(1-cosC)】。 而由正弦定理可知,三个内角和为180度,即A+B+C=π。 因此有: 4R²=4R²(3-cosA-cosB-cosC)。 化简得到: a²+b²+c²=a²+b²+c²+2bc(cosA+cosB+cosC)。 化简得到: a²=b²+c²-2bc*(cosA+cosB+cosC)。 因此余弦定理得证。 |
|
来自: 我爱青花瓷 > 《公文写作/教学/课件/文案写作》