新几何原本：第一章全等（命题1.1-1.2）

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第一章   全     等

命题1.1  连接两点作线段并作延长线

  

图  1.1

如图1.1，任意给定A、B两点，作线段AB，并向B端作延长线段AC或射线AB，以及两端延长作线段DC或直线AB。   

解：根据用尺公理，对于给定的A、B两点，可用直尺作线段AB，且这样的线段只有一条

 

图  1.1-1

再根据用尺公理，线段AB可向B所在的一侧作延长线，延伸到点C得到线段AC，或无限延伸得到射线AB

图  1.1-2

同样线段AB可同时向A、B两侧延伸得到线段DC、或者无限延伸得到直线AB

图  1.1-3

根据用尺公理，以上线段AC、射线AB、线段DC、或直线AB均只有一条。

结论：对于任意给定的两点，都能用直尺作一条线段，对于所有线段都可向某一侧延伸得到覆盖原线段的更长的新线段或者射线，或向两侧延伸得到更长的新线段或者直线。

命题1.2  直线之间、射线之间、等长线段之间均合同 

                图  1.2

如图1.2，任意给定直线a、b，射线AB、CD，及等长线段EF、GH，则a与b、AB与CD、EF与GH均彼此合同。

证明：（1）任取给定直线b上的两个点K、L（直线和点定义）

根据运动公理，平移直线a、使之过K（平移定义），可得到直线a´；绕着点K旋转a´、使之过L（旋转定义），可得到直线a'

    图  1.2-1

∵过两点只能作唯一直线（命题1.1）

∴直线a'覆盖直线b，b也覆盖a'（覆盖定义）

∴直线a'与b重合（重合定义）

∴直线a移动后可与直线b重合，a与b合同（合同定义）

（2）根据运动公理，平移射线AB、使A与C重合（平移定义），可得到射线CB´；绕着C点旋转CB´、使之过D点（旋转定义），可得到射线CB'

    图  1.2-2

∵过两点只能作唯一射线（命题1.1）

∴射线CB'与射线CD重合（覆盖、重合定义）

∴射线AB移动后可与射线CD重合，AB与CD合同（合同定义）

（3）∵EF=GH（给定条件），且线段只有长度这一个几何量（线段定义）

∴线段EF与GH全等（全等定义）

∴EF与GH合同（合同公理），即移动后两线段可重合（合同定义）。

结论：这个命题表明任意给定两条直线彼此合同，给定两条射线彼此合同，给定两条等长线段也彼此合同，经过移动后都能彼此重合。

小编：好像看懂了，几何解题或证明过程的每一步，都要有根据，既可以是定义、公理、给定条件，还可以是已有的命题，从而确保结论正确。但是，如果几何命题论证都要这样注明每一步的根据，是不是太繁琐了？

老任：确实是这样。只有保证几何推导的每一步都有根据，才能确保推理正确无误。这正是我所说的学习几何，能磨练逻辑推演能力、养成缜密思维习惯。这种缜密的逻辑思维不仅是重要的科学素养，还是人一生中最重要的能力之一。至于列出每一步的根据，只是一开始这样做，以后会随着有些步骤反复出现、逐步习惯后，便不再括号注明，甚至合并步骤，简化过程。

小编：我明白了。这两个命题感觉不是一类，老任能给讲讲吗？

老任：好的。几何命题分为三大类，一是作图命题，二是论证命题，三是应用命题。除了少量应用命题外，我们主要关注前两类。

作图命题通常根据给定的已知图形，按要求作图。在直观几何的尺规论证中，作图是逻辑推演的重要一环，因而有相当一部分作图命题在各个定理、性质、公式、应用等后续命题的作图过程中反复运用，是作图的依据；但也有一部分作图命题本身是应用题，很少再出现。作图命题的作图及其证明也要严格基于给定条件、定义、公理和已有命题。

论证命题通常有两个陈述句子，一个是条件，一个是结论；两者合在一起，构成命题，通常用“如果（若、给定）条件，则（那么）结论”来表达。如果用P表示条件，用Q表示结论，命题通常可简化成“若P，则Q”，简写为PQ。这时通常称P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。

命题1.2中，给定直线a、b是条件，a与b合同是结论；或者给定射线AB、CD是条件，AB与CD合同是结论；给定等长线段EF、GH是条件，EF与GH合同也是结论。当然，几何命题给定的条件只是显性条件，定义、公理、已有命题等都是隐含条件，这一点应特别注意。

“若P，则Q”命题可能成立、也可能不成立。数学上由已知条件推导出结论的过程，称为数学证明。如果对于给定条件，能够根据定义、公理或已有命题，推导出结论，就说命题成立。相反，如果不能证明，就不能确定命题是否成立。如果能找出反例，可以说命题不成立。如果无法找出反例，又不能证明，数学上又可能有特殊价值的命题便可称为猜想。

小编：说起命题，数学上还经常遇到原命题、否命题、逆命题、逆否命题、等价命题、充分必要条件等等，能简单地给解释一翻吗？

老任：如果把“若P，则Q”称为原命题，将条件和结论陈述分别作否定表达，便得到否命题，“若非P，则非Q”，简写为非P非Q。原命题是否成立，与否命题是否成立没有关系，两者可能同时成立，也可能同时不成立，还有可能其中一个成立、另一个不成立。

对命题“给定等长线段EF、GH，则EF与GH合同”，其否命题是“给定不等长线段EF、GH，则EF与GH不合同”。根据合同公理“线段等长一定合同、合同一定等长”，如果EF与GH合同，有EF与GH等长，与他们不等长的条件矛盾（这即是反证法）。

亚里士多德《逻辑学》中有个三段论命题“所有人都会死，如'果苏格拉底是人，则苏格拉底会死”。如果将“凡人都会死”作为隐含前提，否命题是“如果苏格拉底不是人，则苏格拉底不会死”。这个否命题显然不能成立，因为除人会死外，马牛羊等所有生物也都会死，如果苏格拉底恰好是一匹马，必定也会死。

把原命题的条件与结论陈述互换便得到逆命题，“若Q，则P”，简写为QP或PQ。这时称Q是P的充分条件，P是Q的必要条件。同样原命题是否成立，与逆命题是否成立也没有关系，两者可能同时成立，也可能同时不成立，还有可能其中一个成立、另一个不成立。

对命题“给定等长线段EF、GH，则EF与GH合同”，逆命题是“如果线段EF与GH合同，则EF、GH等长”。根据合同公理，逆命题显然成立。而对命题“如果苏格拉底是人，则苏格拉底会死”，逆命题是“如果苏格拉底会死，则苏格拉底是人”，则不能成立，因为会死的苏格拉底也有可能恰好是一匹马。

把原命题的条件和结论陈述都否定之后再互换，便得到逆否命题，“若非Q，则非P”，简写为非Q非P。原命题成立，逆否命题一定成立，因为如果逆否命题不成立，即“若非Q，则P”，但是根据原命题“若P，则Q”，因而Q与非Q同时成立，这不可能。

相反，原命题不成立，逆否命题也一定不成立，否则由原命题不成立“若P，则非Q”，因逆否命题成立“若非Q，则非P”，因而非P与P同时成立，这同样不可能。

例如，对命题“如果苏格拉底是人，则苏格拉底会死”，逆否命题是“如果苏格拉底不会死，则苏格拉底不是人”。因为不会死的苏格拉底肯定不能是生物，因而不是人，逆否命题成立。

此外，逆命题与否命题也互为逆否命题，这两个命题也是或同时成立，或同时不成立。

如果原命题与逆命题同时成立，P既是Q的充分条件，也是Q的必要条件，这时P称为Q的充分必要条件，显然Q也是P的充分必要条件，这时简写为PQ。这样的两个陈述在数学上称为等价条件。

如果命题A成立，能推导出命题B成立；相反，命题B成立，也能推导出命题A，这样的两个命题称为等价命题。

以上关于命题、否命题、逆命题、逆否命题、充分条件、必要条件、充分必要条件、等价条件、等价命题等等，看上去有点乱，但对理解数学命题和提升数学证明非常重要，应慢慢理解体会。

小编：“我终于明白了，为什么说万事开头难，头晕使人进步！”

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