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如图，抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），过点A的直线y=-1/2x-1交抛物线于另一点D，点E为第一象限抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点E作x轴的垂线，交AD于点F，交x轴于点T，当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E的横坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠PAB+∠DAB=45°，若存在，求点P的横坐标，若不存在，请说明理由．  答案：（1）y=-3/8x^2+3/4x+3；（2）xE=2；（3）28/9或44/9． 解析：（1）根据直线解析式求点A坐标为（-2，0）； 方法一：将A、B、C三点坐标代入一般式，解方程组可得； 方法二：重新设解析式为两根式：y=a(x+2)(x-4)，代入点C坐标可得a=-3/8，再将双根式化为一般式即可。 （2）当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，①EA=EF，可以通过勾股定理表示Rt△EAT各边，使AE^2=AT^2+ET^2，AE^2=EF^2，解方程，运算量太大，改变思路； ②∠EAF=∠EFA，如图2，直线AD与y轴交于点G，EF//y轴，所以∠CGA=∠EFA， 作线段AG的垂直平分线MN，交AG于点N，交y轴于点N， 连接并延长AN交抛物线于一点，此点即为点E； 易得点G坐标为（0，-1），可得点N坐标为（0，3/2）【a可以利用两直线垂直斜率乘积为-1，代入AG中点求MN解析式后求得点N坐标；b也可以通过三角函数表示GN后求得点N坐标】 a．方法一：点M坐标为（-1，-1/2），直线MN为y=2(x+1)-1/2，当x=0时，yN=3/2； b．方法二：cos∠AGO=OG/AG=MG/NG，NG=MG·AG/OG=5/2，NO=NG-OG=3/2． 将A、N两点坐标代入求的AN直线解析式为y=3/4x+3/2， 直线AN与抛物线解析式联立得： 3/4x+3/2=-3/8x^2+3/4x+3，解得x1=-2(舍去)，x2=2，即点E的横坐标为2．  图2 （3）角的存在性，抛物线上是否存在点P，使得∠PAB+∠DAB=45° 由图像可知，点P有两种情况，①点P在x轴上方，即∠PAD=45°，②点P在x轴下方，且如图3，PA与P’A关于x轴对称； ①在y轴上截去GH=AO，过点H作HQ⊥y轴，并在HQ上截去线段HQ=OG， 可得△AOG≌△CHQ，易得点Q坐标为（1，1）， 将点A、Q坐标代入可求得直线AQ解析式为y=1/3x+2/3， 直线AQ与抛物线联立得：1/3x+2/3=-3/8x^2+3/4x+3，解得x1=-2，x2=28/9【注：可不解方程，已知有一根为A点横坐标，可利用两根和或两根积快速求解另一根，方程复杂时可用】 即点P的横坐标为28/9． ②P’A与PA关于x轴对称，可得P’A解析式为y=-1/3x-2/3， 直线P’A与抛物线联立得：-1/3x-2/3=-3/8x^2+3/4x+3，解得x1=-2，x2=44/9【同上，可用韦达定理求根】即点P的横坐标为44/9． 综上：点P的横坐标为28/9或44/9．  图3 几何法：（3）如图4，过点P作PQ垂直x轴，交直线AD于点Q，过点P作PH⊥AD，交AD于点Q； 由题意得：∠PAD=45°，所以△APH为等腰直角三角形，利用图中△AOG∽△PHQ，设点P横坐标为m， 可得PQ长度为yP-yQ是关于m的二次函数，利用相似或三角函数可以表示线段AH、PH；AH=PH可以解得m的值，同上连接点A和点P关于x轴对称的点K，直线AK与抛物线联立可得点P’的坐标。  图4 文中纰漏之处，请见谅，可在评论区标注，谢谢！ |
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