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（本资料是受福建省普教室张弘老师的委托，组织整理更新而成，停课不停学，我们一起努力！）在数学发展的相当长的时期内，算术是几何的附庸，笛卡尔和费马将数与图形有机的结合在一起，开创了图形的数量化研究，实现了根本性的转变，“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系。我们在初中数学学习中，应该引导学生感知这种图形的数量化研究的思想和魅力，应该将代数与图形有机结合，能用“代数表示”研究图形的位置和图形变换运动过程，养成具有良好的感知图形的数量化研究的思想和魅力。这将为学生今后高中甚至于大学之后的数学学习产生深远影响．【例1】（2017·南通） 已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标．（3）延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO． 
将所得到的B点坐标代入y＝ax2（a＞0）即可得到所求的a的值为：√3．
由△AOD∽OBE（或三角函数的定义），得16a:4=1:a，解得a＝1/2（负值舍去），所以点B的坐标是（1，1/2）．
（3）如下图示，（两种情况只是图形位置不同，解题思路和方法完全一样）
另：OC的长的求法，也可由OC∥AE得△BOC∽△BEA，再根据“相似三角形对应高的比等于相似比”得OC：AE＝BN：BM.……
所以AD/DE＝AC/BC，进一步，得AD/AE＝AC/AB，又∠BAE＝∠BAE，因此△ACD∽△AEB，……，得CD∥BE，又OC∥DE，所以四边形DEOC是平行四边形，因此DE＝OC.
法三：设A（x1，a），B（x2，a），则直线OB的解析式为y＝ax2x.又因AE∥y轴，则xE＝xA＝x1，yE＝ax1x2．直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2(a＞0)相交于A，B两点，x1，x2是方程ax2－kx－b＝0的两根，则x1·x2＝．yE＝ax1x2＝a·()＝－b．所以DE＝b． 另一方面，在y＝kx＋b中，由xC＝0，得yC＝b．即OC＝b．【反思】第3小题的三种解法，其本质都一样。另试题本身含较丰富的参数的计算，因此式的变形正确与否就显得非常重要．【例2】（2017·甘肃）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．
（1）简析：只需将点B、点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得关于a、b的方程组，即可得到a、b的值。答案为：y=1/4x2+3/2x+4.（2）由于A（0，4）、B（－2，0），C（8，0），得OA＝4，BC＝10，设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．如下图示：
法一：先求S△ABN＝0.5×(n+2)×4＝2n+4, 由于A、M、B三点共线，所以S△AMN：S△ABN＝AM：AB，另一方面，由NM∥AC可得AM：AB＝（8－n）：10，所以S△AMN：S△ABN＝（8－n）：10，化简，得
因﹣1/5＜0，当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大.法二：由A（0，4）和C（8，0）先求出直线AC的解析式为y=－1/2x+4，再由A（0，4）和B（－2，0）求出直线AC的解析式为y=2x+4. 因为NM∥AC，所以可设直线MN的解析式为y=－1/2x+b，将点N（n，0）代入，1/2n+b＝0，解得b=1/2n，所以直线MN的解析式为y=－1/2x+1/2n＝－1/2（x－n）.如下图示：
得yM=(2n+4)/5.所以S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝0.5×BN×OA－0.5×BN×MN＝0.5×BN×(OA－MN)＝0.5(n+2)[4-(2n+4)/5]＝－1/5(n-5)2+5. 下同.【反思】虽然第二种方法较繁，但两种解法都是常用的解题思路.（3）由（2）得N（3，0），此时N为BC边的中点，如下图示：
由NM∥AC，得AM：BM＝CN：BN＝1：1，即AM＝BM. 在Rt△AOB中，由AM＝BM可得，OM＝1/2AB.如下图示：
分别在Rt△AOB和Rt△AOC中，由勾股定理，可得AB＝2×根号5，AC＝4×根号5，所以AB＝1/2AC。如下图示：
（当然也可用相似来证AB＝1/2AC）. 【例3】（2017·山西）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E．连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t>0）．
（2）①直接写出P、D两点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）．②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值．（3）试探究在点P、Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．(1)基本题，不做详解.简解如下：分别当y=0和x=0时，代入解析式，得到相应的x的值和y的值.
②当PQ=PD时，过P点作PH⊥QD于点H，如下图示：
【例4】（2017·湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
（2）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0). 先分别求出过A、C两点（或过B、C两点）且a=－1的抛物线解析式；分别为：L1为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m； 当AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2. 分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2．
综上可得：假设AF⊥BF时，必满足a≤﹣1/3，反之，若不满足这个关系式，则直线AF与BF就不可能互相垂直.等价于：
反思：数形结合思想是依托，“式的变形与计算”是关键.【例5】（2018·晋江质检）已知经过原点的抛物线y=ax2+bx与x轴的正凟交于点A，点P是抛物线在第一象限上的一个支点.
（1）如图1，若a=1，点P的坐标为（5/2，5/4），①求b的值；②若点Q是y轴上的一点，且满足∠QPO＝∠POA，求点Q的坐标；（2）如图2，过点P的直线BC分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点B、C，过点C作CD⊥x轴交射线OP于点D，设点P的纵坐标为yP，若OB·CD＝6，试求yP的最大值.
（1）①直接代入，即可求得，答案为：b=2.相应的解析式为：y=x2－2x.②画出符合题意的图是解决问题的第一步，也是重中之重，本题的图不难画出，但要注意两种情况，如下图示：
第二种情况可以直接求解，也可以借助第一种情况求解.法一：先求PQ2与x轴交点坐标E，再求出直线PQ2的解析式，最后再求出Q2坐标，如下图示：可得E（25/16，0），进一步得到直角PE的解析式为y=4/3x－25/12，从而得到Q（0，－25/12）. 法二：利用角平分线的对称性，如下图示，根据相似或三角函数定义或勾股定理，不难得到：
由于抛物线是不确定的，题中所叙述的P点其实与抛物线无关，也就只是说符合条件OB×CD＝6的P点，均能找到a、b使抛物线y=ax2+bx过P点且满足题中条件. 将等式s=1/t+t/6进行去分母，可得：6st=6+t2，整理成关于s的一元二次方程，得：t2－6st+6＝0，由于t>0，所以关于t显然有实数根，因此有△＝(－6s)2－4×1×6＝36s2－24≥0，即s2≥2/3，由于s＞0，所以s≥√6/3.……
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如图，抛物线y=ax2+bx(a>0，b<0)交x轴于O、A两点，顶点为B.（1）直接写出A，B两点的坐标（用含a、b的代数式表示）；（2）直线y=kx+m（k>0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，连接OB，当∠OBA＝1200，√3/2≤k≤√3时，求AB/CE的取值范围.
(2)若用原顶点B的坐标代入直线解析式中，计算显然非常大，为此将原抛物线与直线解析式进行改造，如下： 抛物线的顶点B设为(h，d)，则抛物线为y=a(x－h)2+d，将原点（0，0）代入，得ah2+d=0，得到d=-ah2 ，所以抛物线为y=a(x－h)2-ah2.而直线y=kx+m经过点B，代入，得d=kh+m，得m=d-kh，所以直线为y=kx+d-kh=k(x-h)+d，即y=k(x-h)－ah2.如下图示：
得yC=－kh－ah2，因k<0，显然有yC<0.
BF＝－yB=b2/(4a),AF=OF=xB=－b/(2a).得ah=－b/2，得tan∠OEC＝tan∠BAF(3)当∠OBA＝120°时，得∠BAF＝300，由上述知：tan∠BAF＝－b/2，得b=－2√3/3.
已知直线y=x+t与双曲线y=k/x (k>0)交于C、D两点，过C作CA⊥x轴于点A，过D作DB⊥y轴于点B，连接AB.(3)已知点D(3,2)，且C、D在抛物线y=ax2+bx+5(a≠0) 上，若当m≤x≤n(其中mn<0)时，函数y=ax2+bx+5的最 小值为2m，最大值为2n，求m+n的值．（1）常规题，含多个参数，但需耐心计算：答案如下：
设A(p，0)，B（0，n）．且p≠n．代入直线解析式，得C(p，p+t)，D(n-t，n)．又因点C、D在双曲线y=k/x上，所以p(p+t)=n(n-t)．即p2+pt=n2-nt．得(p+n)t＝- (p+n)(p-n)．因p≠n，得p-n≠0．所以p+n=0．得p=-n．(根据“0乘以任何数均为0”)又当t=n时，代入上式p(p+t)=n(n-t)，得p=n=0，得C（0，t），不合题意，舍去．此时A（-n，0），B(0，n)，易求得直线AB为y=x+n．又直线CD为y=x+t．t≠n．所以直线AB∥CD．如下图示，易证S△CDB＝S△ODB＝|k|/2．同理S△CDA＝|k|/2，所以S△CDB＝S△CDA．由面积公式，得BE＝AF，且BE∥AF，进一步，得四边形ABEF为矩形．（3）当点D（3，2）时，不难求得直线与双曲线的解析式分别为y=x-1或y=6/x．进一步（联立两解析式），得C（-2，-3）．将点C、D的坐标代入抛物线y=ax2+bx+5 (a≠0) 的解析式，可求得抛物线为y=-x2-2x+5=-(x-1)2+6．其对称轴为直线x=1．由mn<0且m≤x≤n，知：m<0，n=0．
在平面直角坐标系xoy中，已知点A．若对点A作如下变换： 第一步：作点A关于x轴的对称点A1；第二步：以O为位似中心，作线段OA1的位似图形OA2，且相似比OA2/OA1＝q，则称A2是点A的对称位似点．（1）若A（2，3），q=2，直接写出点A的对称位似点的坐标；
①当k=1/2时，判断E（1，－1）是否为点N的对称位似点，请说明理由；②若直线l与抛物线C交于点M（x1，y1）（x1≠0），且点M不是抛物线的顶点，则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上？请说明理由．【题干解读】理解题意（新定义）和位似的定义与性质，体会定义中的前后点的联系与特征，尤其是当q的值变化时，对应的A2与A1之间的变化规律（所包含的函数关系）．可以发现直线A1A2必经过原点，并且：
（ⅱ）而抛物线C的解析式中只含有一个参数m，二次项系数为定值-1/2，所以当m改变时，相当于抛物线平移，同时抛物线C的对称轴为x=m，顶点坐标为（m，-2+m2/2）．即抛物线C与直线l的另一个交点M的横坐标xM＝2(m-k)．（上述结论在最后一问的解答需要用到，而且恰好是解题的关键）(本小题计算量不大，也可直接求解点N的坐标，如下：当k=1/2时，直线l为y=x/2-2，此时yN＝2k－2＝－1，代入直线l的解析式，得xN=2，所以N（2，-1）．)【法一】因点N关于x轴的对称点N1（2，1），根据定义，N点的位似点应为(2t，t)(t为任意实数，用t代替q，避免分类)，进一步，得：N点的位似点应在直线y=x/2上（原点除外）．显然E（1，-1）不在直线y=x/2上，所以当k=1/2时，点E（1，-1）不是点N的对称位似点．【法三】N1的求法与法一相同．不难求得直线N1E的解析式，但直线N1E不经过原点，……（可参考【题干解读】的说明）．②由【又题干解读】知：所以或．且抛物线C的顶点坐标为（m，-2+m2/2），直线l与抛物线C交于点M的横坐标xM＝2(m-k)．当m=2k时，代入直线解析式，得M（2k，2k2-2），此时时抛物线C的顶点为（2k，2k2-2），不合题意（点M不是抛物线的顶点），舍去．（关于t的方程有实根，即存在t的值，符合题意）．由k2≤1/16与k＜0，得-1/4≤k<0．即当-1/4≤k<0时，点M的对称位似点仍在抛物线C上．
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【例9】（2018·泰州）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数y1=k/x (x＞0)的图像上.点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图像经过点A′.
（3）设m=1/2，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图像相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图像与线段EF的交点P一定在函数y1的图像上.
【例10】（2018·金华）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=m/x与y=n/x (x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
（1）当m=4，n=20时，两函数的解析式为y=4/x和y=20/x，当x＝4时，对应的函数值分别为1和5，所以B（4，1），得D（4，5），①当点P的纵坐标为2时，即当y=2时，对应的x的值分别为2和10，所以A（2，2）、C（10，2）．
②当点P是BD的中点时，P（4，3），类似地，当y=3时，对应的x的值分别为4/3和20/3，即A（4/3，3），B（20/3，3），从而PA＝xP－xA=4-4/3＝8/3，PC＝xB－xP=20/3-4＝8/3，所以PA＝PC，又P是BD的中点，所以ABCD是平行四边形，又因BD⊥AC，所以四边形ABCD为菱形．（2）若四边形ABCD为正方形，则必须满足ABCD是菱形，且BD＝AC．由于BD⊥AC，所以只需满足PA＝PB＝PC＝PD即可．不妨设P（4，t），PA＝PB＝PC＝PD＝a≠0，则A（4-a，t），C(4+a，t)，B(4，t-a)，D(4，t+a)，如下图示：
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