中考模拟数学试题汇编：压轴题

2010-2011中考模拟数学试题汇编：压轴题

 

一、解答题

1．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

　　（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；

　　（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

A

B

C

N

P

M

O

x

y

x=1

第1题图

　　（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

答案：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90⁰，

　　∴四边形OBNM为矩形。

　　∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90⁰

　　∵ ，AO=BO=1，

　　∴AM=PM。

　　∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，

　　∴OM=PN，

　　∵∠OPC=90⁰，

　　∴∠OPM+CPN=90^0，

　　又∵∠OPM+∠POM=90⁰　　∴∠CPN=∠POM，

　　∴△OPM≌△PCN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（2）∵AM=PM=APsin45⁰= ，

　　∴NC=PM= ，∴BN=OM=PN=1- ；

　　∴BC=BN-NC=1- - =

 

 

（3）△PBC可能为等腰三角形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）

　　②当点C在第四象限，且PB=CB时，

　　有BN=PN=1- ，

　　∴BC=PB= PN= -m，

∴NC=BN+BC=1- + -m，　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　　由⑵知：NC=PM= ，

　　∴1- + -m= ，　　∴m=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　∴PM= = ，BN=1- =1- ，

　　∴P（ ,1- ）.

∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（ ,1- ）

2. （2010年广州中考数学模拟试题(四)）关于x的二次函数y＝-x²＋(k²-4)x＋2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．

(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；

  (2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；

     (3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

答案：(1)根据题意得：k²-4＝0，

∴k＝±2 .

第2题图

A1

A2

B1

B2

C1

D1

C2

D2

x

y

当k＝2时，2k-2＝2＞0,

当k＝－2时，2k-2＝-6＜0.

又抛物线与y轴的交点在x轴上方,

∴k＝2 .

∴抛物线的解析式为：y＝-x²＋2.

函数的草图如图所示：

(2)令-x²＋2＝0，得x＝± .

当0＜x＜ 时，A₁D₁＝2x，A₁B₁＝-x²＋2

∴l＝2(A₁B₁＋A₁D₁)＝-2x²＋4x＋4.

当x＞ 时，A₂D₂＝2x,A₂B₂＝-(-x²＋2)＝x²-2,

∴l＝2(A₂B₂＋A₂D₂)＝2x²＋4x-4.

∴l关于x的函数关系式是：

         

(3)解法①：当0＜x＜ 时，令A₁B₁＝A₁D₁,得x²＋2x－2＝0.

解得x=-1- (舍)，或x=-1＋ .

将x=-1＋ 代入l=-2x²＋4x＋4,得l=8 -8,

当x＞ 时，A₂B₂=A₂D₂

得x²-2x-2=0,

解得x=1- (舍)，或x=1＋ ,

将x=1＋ 代入l=2x²＋4x-4,

得l=8 ＋8.

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋ 时，正方形的周长为8 -8；当x=1＋ 时，正方形的周长为8 ＋8．

解法②：当0＜x＜ 时，同“解法①”可得x=-1＋ ,

∴正方形的周长l=4A₁D₁=8x=8 -8 .

当x＞ 时，同“解法①”可得x=1＋ ,

∴正方形的周长l=4A₂D₂=8x=8 ＋8 .

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋ 时，正方形的周长为8 －8；当x=1＋ 时，正方形的周长为8 ＋8．

解法③：∵点A在y轴右侧的抛物线上,

∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，-x²＋2).

令AB＝AD，则 =2x,

∴-x²＋2=2x,                                      ①

或-x²＋2=-2x,                                    ②

由①解得x=-1- (舍)，或x=-1＋ ,

由②解得x=1- (舍)，或x=1＋ .

又l=8x,∴当x=-1＋ 时，l=8 -8；

当x=1＋ 时，l=8 ＋8.

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋ 时，正方形的周长为8 -8；当x=1＋ 时，正方形的周长为8 ＋8．

3.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0.

第3题图

(1)求抛物线的解析式.  

(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.

①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.

②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.

答：（1）设抛物线的解析式为 ，

由题意知点A（0，-12），所以 ，

又18a+c=0， ,

∵AB∥CD,且AB=6,

∴抛物线的对称轴是 .

∴ .

所以抛物线的解析式为 .

（2）① ， .

②当 时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，-12），点Q坐标（6，-6）.

若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：

（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，-18），

将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，

点R的坐标就是（3，－18）；

（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，-6），

将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.

（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，-6），

将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.

综上所述，点R坐标为（3，-18）.

4．(2010年江西省统一考试样卷)已知二次函数y=x²＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.

（1）求这个二次函数的关系式；

（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.

（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

答案：解：（1）由题意，得   解得               

            ∴二次函数的关系式是y=x²－1．                 

       （2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．

             由y=x，得x²－1=x，即x²－x－1=0，解得x= ．

             由y=－x，得x²－1=－x，即x²＋x－1=0，解得x= ．

            ∴⊙P的半径为r=|x|= ．                    

        （3）设点P坐标为（x，y），∵⊙P的半径为1，

∴当y＝0 时，x²－1=0，即x＝±1，即⊙P与y轴相切，

            又当x＝0时，y＝－1，

∴当y＞0时，  ⊙P与y相离；

              当－1≤y＜0时，  ⊙P与y相交.   

第5题图

5．(2010年山东宁阳一模)如图示已知点M的坐标为（4，0），

以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线

过A、B两点且与y轴交于点C．

（1）求点C的坐标并画出抛物线的大致图象

（2）已知点Q（8，m），P为抛物线对称轴上一动点，

求出P点坐标使得PQ+PB值最小，并求出最小值．

（3）过C点作⊙M的切线CE，求直线OE的解析式．

答案：（1）将A（2，0）B（6，0）代入 中

    

∴

将x=0代入，y=2

∴C（0，2）

（2）将x=8代入式中，y=2

∴ Q（8，2）

过Q作QK⊥x轴

过对称轴直线x=4作B的对称点A

PB+PQ=QA

在Rt△AQK中，AQ=       即，PB+PQ=

PM∥KQ      即△APM∽△AQK  ∴PA=      P（4， ）

6.（2010年河南中考模拟题1）如图，在 中，∠ °， , 的面积为 ，点 为 边上的任意一点( 不与 、 重合)，过点 作 ∥ ，交 于点 ．设 以 为折线将△ 翻折，所得的 与梯形 重叠部分的面积记为y.

（1）．用x表示?ADE的面积;

（2）．求出 ﹤ ≤ 时y与x的函数关系式；

（3）．求出 ﹤ ﹤ 时y与x的函数关系式；

（4）．当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？

 

 

答案：解:(1)  ∵ DE∥BC  ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C

           ∴△ADE∽△ABC  ∴

即                  

(2)∵BC=10  ∴BC边所对的三角形的中位线长为5

∴当0﹤  时  

（3） ﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S_△A'DE=S_△ADE=

 ∴DE边上的高AH=AH'=

由已知求得AF=5

∴A'F=AA'-AF=x-5

由△A'MN∽△A'DE知

∴

（4）在函数 中

∵0﹤x≤5

∴当x=5时y最大为：   

    在函数 中

当 时y最大为：

∵ ﹤

∴当 时，y最大为：    

7.（2010年河南中考模拟题2）如图，直线 和x轴y轴分别交与点B、A，点C是OA的中点，过点C向左方作射线CM⊥y轴，点D是线段OB上一动点，不和B重合，DP⊥CM于点P，DE⊥AB于点E，连接PE。

（1）       求A、B、C三点的坐标。

（2）  设点D的横坐标为x，△BED的面积为S，求S关于x的函数关系式。

（3）  是否存在点D，使△DPE为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的x的值。

 

       

 

 

答案：解：(1)将x=0代入y= x+3，得y=3，故点A的坐标为（0,3），

因C为OA的中点，故点C的坐标为（0，1.5）

将y=0代入y= x+3，得x=－4，故点B的坐标为（－4，0）

所以A、B、C三点坐标为（0,3），（－4，0），（0，1.5）

（2）由（1）得OB=4，OA=3则由勾股定理得AB=5

因P点的横坐标为x，故OD=－x，则BD=4+x

又由已知得∠DEB=∠AOD=90⁰ ，

∴sin∠DBE=sin∠ABO= = = ， ，DE= （4+x），

cos∠DBE=cos∠ABO= ， ，BE ，

S= × × （4+x）= (4+x)² （－4<x≤0）

（3）符合要求的点有三个，x=0，－1.5，－

①当PE=PD时，过P作PQ⊥DE于Q

cos∠PDQ=cos∠ABO= ，

DE=2DQ= PD×2=2.4，即2.4=

②当ED=EP时，过E作EH⊥PD于H

cos∠EDH=cos∠ABO= ，

PD=2DH=2× ED= × =1.5，即x=－ ，

③当DP=DE时，即DE=1.5  ,DE= =1.5 ,x=－1.5，

8.（2010年河南中考模拟题3）在△ABC中，∠Ａ＝90°，AB＝４，AC=3，M是AB上的动点（不与A、B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N. 以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x.

(1) 当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y与x间函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

　

答案：解：（1）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连接OA、OD，则OA=OD= MN

在Rt⊿ABC中，BC= =5

∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C

⊿AMN∽⊿ABC，∴ ， ，

∴MN= x, ∴OD= x

过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD= x，

在Rt⊿BMQ和Rt⊿BCA中，∠B是公共角

∴Rt⊿BMQ∽Rt⊿BCA，

∴ ，∴BM= = x，AB=BM+MA= x +x=4,∴x=

∴当x= 时，⊙O与直线BC相切，

（3）随着点M的运动，当点P 落在BC上时，连接AP，则点O为AP的中点。

∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC

∴⊿AMO∽⊿ABP，∴ = ，AM=BM=2

故以下分两种情况讨论：

①     当0＜x≤2时，y=S_⊿PMN= x².

∴当x=2时,y_最大= ×2²=

②     当2＜x＜4时，设PM、PN分别交BC于E、F

 ∵四边形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x

又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形

∴FN=BM=4－x，∴PF=x－（4－x）=2x－4，

又⊿PEF∽⊿ACB，∴（ ）²=

∴S_⊿PEF= （x－2）²,y= S_⊿PMN－ S_⊿PEF= x－ （x－2）²=－ x²+6x－6

当2＜x＜4时，y=－ x²+6x－6=－ （x－ ）²+2

∴当x= 时，满足2＜x＜4，y_最大=2。

综合上述，当x= 时，y值最大，y_最大=2。

9.（2010年河南中考模拟题4）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．

（1）点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；

（2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

 

 

答案：解：（1）、（4，0）、（0，3）

 （2）当0＜t≤4时，OM=t．

由△OMN∽△OAC，得 ，

∴ ON= ，S= ×OM×ON= ．

当4＜t＜8时，

如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4．

由△DAM∽△AOC，可得AM= ．

而△OND的高是3．

S=△OND的面积-△OMD的面积

= ×t×3- ×t× 　　　　　

= ． 　　　　

(3) 有最大值．

方法一：当0＜t≤4时，

∵ 抛物线S= 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，

∴ 当t=4时，S可取到最大值 =6；

当4＜t＜8时，

∵ 抛物线S= 的开口向下，它的顶点是（4，6），

∴ S＜6．

综上，当t=4时，S有最大值6．

方法二：∵ S=  

∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示．

显然，当t=4时，S有最大值6．

10.（2010年河南中考模拟题5）二次函数 的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．

 (1)试求 ， 所满足的关系式；

 (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积

的 倍时，求a的值；

  (3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．

若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．                                                                                                           

 

答案：解：(1)将A（1，0），B（0，l）代入 得：  

      ，可得：  

（2）由(1)可知：  ，顶点M的纵坐标为 ，

      因为 ，由同底可知： ，

 整理得： ，得：  

由图象可知： ，因为抛物线过点（0,1），顶点M在第二象限，其对称轴x= ,

∴ ,    ∴ 舍去,从而  

（3）① 由图可知，A为直角顶点不可能；     ② 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；

③ 若设B为直角顶点，则可知 ，得：

令 ，可得： ，

得：

．

　　   解得： ，由－1＜a＜0，不合题意．所以不存在．

综上所述：不存在

11.（2010年河南中考模拟题6）如图，在平面直角坐标系x0y中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点。抛物线 与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切与点A和点C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；

（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。

 

答案：解：（1） ，

   （2） ，

   （3）点P在抛物线上，

        设y_DC=kx+b,将（0，1），（1，0），带入得k=-1,b=1，

∴直线CD为y=-x+1，

∵过点B作⊙O的切线BP与x轴平行，

∴P点的纵坐标为-1，

把y=-1带入y=-x+1得x=2，

∴P（2，-1），

将x=2带入 ，得 y=-1，

∴点P在抛物线 上。

12.（2010年吉林中考模拟题）甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B港出发逆流匀速驶向A港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A港的距离y₁、y₂（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．

（1）写出乙船在逆流中行驶的速度．（2分）

（2）求甲船在逆流中行驶的路程．（2分）

（3）求甲船到A港的距离y₁与行驶时间x之间的函数关系式．（4分）

（4）求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离．（2分）

【参考公式：船顺流航行的速度 船在静水中航行的速度＋水流速度，船逆流航行的速度 船在静水中航行的速度 水流速度．】

 

 

答案：解：（1）乙 船在逆流中行驶的速度为6km/h． 

（2）甲船在逆流中行驶的路程为 (km)．

（3）方法一：

设甲船顺流的速度为 km/h，

由图象得 ．

解得a 9．

当0≤x≤2时， ．

当2≤x≤2.5时，设 ．

把 ， 代入，得 ．

∴ ．

当2.5≤x≤3.5时，设 ．

把 ， 代入，得 ．

∴ ．

方法二：

设甲船顺流的速度为 km/h，

由图象得 ．

解得a 9．

当0≤x≤2时， ．

令 ，则 ．

当2≤x≤2.5时， ．

即 ．

令 ，则 ．                                       

当2.5≤x≤3.5时， ．

．

（4）水流速度为 (km/h)．

设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中．

根据题意，得 ．                       

解得 ．

．

即救生 圈落水时甲船到A港的距离为13.5 km．

13.(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)如图1，把一个边长为2 的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的 抛物线c₁交x轴于点M、N(M在N的左边).

(1)求抛物线c₁的解析式及点M、N的坐标；

  (2)如图2，另一个边长为2 的正方形 的中心G在点M上， 、 在x轴的负半轴上( 在 的左边)，点 在第三象限，当点G沿着抛物线c₁从点M移到点N，正方形随之移动，移动中 始终与x轴平行.

①直接写出点 、 移动路线形成的抛物线 、 的函数关系式；

②如图3，当正方形 第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，

求点G的坐标．

图3

图2

图1

  

 

 

 

 

 

答案：解： (1)y=－ x²+4,  M( ,0),N( ,0) 

①y_A'=－ x²+2 (2分), y_B'=－ (x－2)²+4　    ②G(1－ ，－3＋ )

14.（2010年铁岭市加速度辅导学校）如图，在直角梯形 中， ， ，点 为坐标原点，点 在 轴的正半轴上，对角线 相交于点 ． ， ．

（1）求 和 的值；

（2）求直线 所对应的函数关系式；

y

x

A

B

D

M

O

（3）已知点 在线段 上（ 不与点 重合），经过 点 和点 的直线交梯形 的边于点 （ 异于点 ），设 ，梯形 被夹在 内的部分的面积为 ，求 关于 的函数关系式．

解：（1） ，  

， ，  

（2）由（1）得： ， ．

，易证

， ．

过 的直线所对应的函数关系式是 ．

（3）依题意：当 时， 在 边上，

分别过 作 ， ，垂足分别为 和 ，

y

x

A

B

D

M

O

N

F

E

， ，

．

直线 所对应的函数关系式是 ，

设

易证得 ， ，

整理得：

y

x

A

B

D

M

O

P

E

， ， 分

由此， ，

当 时，点 在 边上，

此时， ， ，

易证：

，

．

综上所述：

（1）解法2： ， ．

易求得：  

（3）解法2：分别过 作 ， ，垂足分别为 和 ，

由（1）得， ，

即： ，又 ，

设经过 的直线所对应的函数关系式是

则    解得：

经过 的直线所对应的函数关系式是 ．

依题意：当 时， 在 边上， 在直线 上，

整理得：

  （ ）

当 时，点 在 上，此时，点 坐标是 ，因为 在直线 上，

整理得： ． ．

综上所述：

 

15.（2010天水模拟）如图，在平面直解坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0）（4，3），动点M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时。

（1）P点的坐标为（4-t, ）(用含t的代数式表示)。

（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0<t<4）

（3）当t=      秒时，S有最大值，最大值是   

（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式。

（1）4-t, t

(2)S= MA·PD= （4-t） t   S= (0<t<4)

(3)当t= = =2s   S有最大值,  S_最大= (平方单位)

(4)设Q(0,m)①AN=AQ   AN²=AQ²

2²+3²=16+M²

M²=-3  ∴此方程无解,故此情况舍去.

②AN=NQ  AN²=NQ²

13=2²+(3-m)²     3-m=±    m=0,m₂=6

 ∴Q=(0,0) ∴AQ:y=0

  ③NQ=AQ

4+(3-M)²=16+M²

M=-      ∴(0, )      AQ:y=2x

16.(2010年厦门湖里模拟)已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y= x+b (b<k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

答案：解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．    

∵k为正整数，∴k＝1，2，3．                   

(2)当k＝1时，方程2x²＋4x＋k－1＝0有一个根为零；

当k＝2时，方程2x²＋4x＋k－1＝0无整数根；     

当k＝3时，方程2x²＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根

综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．

当k＝3时，二次函数为y＝2x²＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x²＋4x－6．                    

(3)设二次函数y＝2x²＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)．

依题意翻折后的图象如图所示．

第16题图

当直线 经过A点时，可得 ；

当直线 经过B点时，可得 ．

由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为 ．

 

A

B

C

O

x

y

17．（2010年杭州月考）如图，已知抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．

（1）求抛物线的解析式及其顶点 的坐标；

（2）设直线 交 轴于点 ．在线段 的垂直平分线上是否存在点 ，使得点 到直线 的距离等于点 到原点 的距离？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线 与线段 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

 

答案：（1）设抛物线解析式为 ，把 代入得 ．

，顶点 ）

（2）假设满足条件的点 存在，依题意设 ，

由 求得直线 的解析式为 ，

它与 轴的夹角为 ，设 的中垂线交 于 ，则 ．

则 ，点 到 的距离为 ．

又 ．

．

平方并整理得：

．

存在满足条件的点 ， 的坐标为 ．

（3）由上求得 ．

①若抛物线向上平移，可设解析式为 ．

A

B

C

O

x

y

D

F

H

P

E

当 时， ．

当 时， ．

或 ．

．······ （2分）

②若抛物线向下移，可设解析式为 ．

由 ，

有 ．

， ．

向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移 个单位长．

18．（2010 河南模拟）如图，经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线 交y轴的正半轴于点C，设抛物线的顶点为D。

第18题

（1）用含a的代数式表示出点C、D的坐标；

（2）若 ，请确定抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q，使△BDQ为直角三角形？如果能，请直接写出点Q的坐标，如不能，说明理由。

 

答案：（1）D（1，-4a），C（0，-3a），

   （2） ，

   （3）

第19题

19．（2010 河南模拟）已知：如图，等腰梯形AB CD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )

D ( 4，6），且AB＝ .

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得

S△ABC  = S梯形ABCD  ?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.

答案：

（1）在RtΔABC中，                             ，

又因为点B在x轴的负半轴上，所以B（－2，0）

（2）设过A，B，D三点的抛物线的解析式为                ，

将A（0，6），B（－2，0），D（4，6）三点的坐标代入得

            解得        所以      

（3）略

第20题

20.（2010湖南模拟）已知二次函数的图象是经过点A(1,0),B(3,0),E(0,6)三点的一条抛物线.

­  (1)求这条抛物线的解析式;

(2)如图,设抛物线的顶点为C,对称轴交x轴于点D,在y轴正半轴上有一点P,且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似,求P点的坐标.

 

解:(1)设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-3).

­    ∵过E(0,6),∴6=a×3

­    ∴a=2,  ∴ y=2x²-8x+6

­(2)y=2 x²-8x+6=2(x²-4x+3)-2=2(x-2)²-2,

­    ∴C(2,-2).对称轴直线x=2,D(2,0).

­    △ACD为直角三角形,AD=1,CD=2,OA=1.

­    当△AOP∽△ACD时, , ,∴OP=2.

­    ∵ P在y轴正半轴上,∴P(0,2).

­    当△PAO∽△ACD时, , ,OP=

­    P在y轴正半轴上,∴P(0, ).

21.（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为D点，

与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0） ，

OB＝OC ，tan∠ACO＝ ．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

_

y

_

x

_

O

_

E

_

D

_

C

_

B

_

A

图10

_

G

_

A

_

B

_

C

_

D

_

O

_

x

_

y

图11

（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

 

 

 

 

 

 

答案：（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）  

将A、B、C三点的坐标代入得           

解得：                                      

所以这个二次函数的表达式为：          

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）          

设该表达式为：                     

将C点的坐标代入得：                          

所以这个二次函数的表达式为：           

（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）            

理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                           

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）                       

方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                              

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，― 3）或（－4，3）  

代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）                         

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），

则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得  

∴圆的半径为 或 ．  

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为 ．

设P（x， ），则Q（x，－x－1），PQ ．

          

当 时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为 ， ．    

 

 

22.（2010年武汉市中考拟）抛物线 与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且 ，（1）求抛物线的解析式。

（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作 ，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物线上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

 

（3）AD⊥X轴于D，以OD为直径作⊙M，N为⊙M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系？写出证明。

 

 

 

答案：（1）

(2)联立 得A（-2，-1）C（1，2）

设P（a,0），则Q（4+a,2）

∴

∴

∴Q(-3,2)或（1，2）

（3）∵△AND～△RON，∴

∵△ONS～△DNO，∴

∴

 

 

23．（黑龙江一模）（本小题满分10分）

如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

答案：

（1）设抛物线解析式为 ，把 代入得 ．

，

顶点

（2）假设满足条件的点 存在，依题意设 ，

由 求得直线 的解析式为 ，

它与 轴的夹角为 ，设 的中垂线交 于 ，则 ．

则 ，点 到 的距离为 ．

又 ．

  ．

平方并整理得：

．

存在满足条件的点 ， 的坐标为 ．

（3）由上求得 ．

A

B

C

O

x

y

D

F

H

P

E

①若抛物线向上平移，可设解析式为 ．

当 时， ．

当 时， ．

或 ．

．······ （8分）

②若抛物线向下移，可设解析式为 ．

由 ，

有 ．

， ．

向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移 个单位长． （10分）

24.（济宁师专附中一模）

如图，直线

（1）求 两点的坐标；

（2）如果点 在线段 上,将 沿直线 折叠, 点恰好落在 轴上的 点,求直线 的解析式.

（3）如果点 在坐标轴上，以点 为圆心， ，求点 的坐标。

 

 

答案：

解（1）M(3，0)  N(0,4)；

（2）

（3）第一种情况：当P₁在y轴上且在点N下方时，P₁坐标是（0，0）

第二种情况：当P₂在x轴且在M点的左侧时，P₂坐标是（0，0）

第三种情况：当P₃在x轴且在M点右侧时，P₃坐标是（6，0）

第四种情况：当P₄在y轴且在点N上方时，P₄的坐标是（0，8）

综上，P坐标是（0，0）（6，0）（0，8）

A

B

O

C

-1

1

y

x

第25题图

25. (2010三亚市月考)（本题满分13分）如图，抛物线y=ax² + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。

（1）求抛物线y= ax² + bx + c 的解析式；

（2）求△AOC和△BOC的面积比；

（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。

若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。

 

 

解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，

∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线的解析式为y= a（x+1）(x-3)

y

A

B

O

C

-1

1

x

第25题图

P

D

又∵抛物线经过点C(0,-3)，∴ -3=a（0+1）(0-3)

 ∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，

即y=x²-2x-3 

（2）依题意，得OA=1,OB=3,

∴S_△AOC∶S_△BOC= OA·OC∶ OB·OC=OA∶OB

=1∶3 

（4）       在抛物线y=x²-2x-3上，存在符合条件的点P 。

解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。

∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。

∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x²-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）

∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。

设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B（3，0）代入得 3k-3=0 ∴k=1。

∴y=x-3 ∴当x=1时，y=-2 .∴点P的坐标为（1，-2） 

解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D

∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。

∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x²-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。

∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴ 即  

∴DP=2

∴点P的坐标为（1，-2）