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2018.05.09 日 一 二 三 四 五 六  前面我们讲过正方体展开图的问题以及涂色问题，今天就来一起说说计算表面积相关的知识。 问题一 包装问题 例题：要将两盒相同的长方体纪念品（长10厘米，宽6厘米、高3厘米）用包装纸包装在一起。怎样包装才能使包装纸用的最少？（不计损耗和接缝） 分析：在不计损耗和接缝的情况下，求需要多少包装纸，我们可以把这两盒纪念品重叠起来，通过求表面积计算。 方法一：利用拼后长方体公式计算 （1）将上下两个面重叠 重叠后的长方体长：10厘米，宽6厘米，高3+3=6厘米。表面积S=2（ab+ah+bh） =2（10✕6+10✕6+6✕6） =312（平方厘米） （2）将左右两个面重叠 重叠后的长方体长：20厘米，宽6厘米，高3厘米。 表面积S=2（ab+ah+bh） =2（20✕6+20✕3+6✕3） =396（平方厘米） （3）将前后两个面重叠 重叠后的长方体长：10厘米，宽12厘米，高3厘米。 表面积S=2（ab+ah+bh） =2（10✕12+10✕3+12✕3） =372（平方厘米） 所以，采用第一种包装用纸最少。 方法二：利用表面积变化去计算 由于这个长方体有三组不同的面，所以有三种不同的拼法。每一次拼后就会消失两个面。 所以利用原来2个长方体表面积之和—消失的两个面面积等于现在长方体的表面积。 原来一个长方体表面积S=2（ab+ah+bh） =2（10✕6+10✕3+6✕3） =216（平方厘米） 两个长方体表面积之和=216✕2=532（平方厘米） （1）上下面重叠：532-2✕10✕6=312（平方厘米） （2）左右面重叠：532-2✕6✕3=396（平方厘米） （3）前后面重叠：532-2✕10✕3=372（平方厘米） 通过分析，也较容易知道把最大的两个面拼掉，剩下的表面积最少。 方法三：利用长方体面的特点去计算 两个长方体应该有4个上下面，4个前后面，4个左右面。每种拼法都会消失两个面。 （1）上下面重叠：新组成的长方体就有2个原来长方体的上下面，4个前后面，4个左右面。 2✕10✕6+4✕10✕3+4✕6✕3=312（平方厘米） （2）左右面重叠：新组成的长方体就有4个原来长方体的上下面，4个前后面，2个左右面。 4✕10✕6+4✕10✕3+2✕6✕3=396（平方厘米） （3）前后面重叠：新组成的长方体就有4个原来长方体的上下面，2个前后面，4个左右面。 4✕10✕6+4✕10✕3+2✕6✕3=396（平方厘米） 小结：两个长方体不管怎样重叠，每次都会减少两个面，重叠的面越大，拼成的长方体的表面积就越小；重叠的面越小，拼成的长方体的表面积就越大。 三种不同的计算方法，思考的方式是截然不同的。 问题二 分割问题 从长方体中分割出一块以后的立体图形面积 例1：从一个棱长为8的正方体角上挖去一个长宽高分别为a、b、c的小长方体(a、b、c都小于8)，求所得新几何体的表面积。 解： 表面积=8×8×6=384，表面积不变。 除了从角上挖去以外，还可能是从棱上挖，或者从面上挖，另外挖的时候是否穿透，解题时需根据不同情况分别对待。 下面三幅图分别表示了未穿透的三种情况。 假设原来正方体的棱长都是8，挖去的都是2×3×4的小长方体。上述例题即图1所示，减少的面均得到弥补，所以表面积与未挖时一样。
图1 图2 图3 ♛由图2可知，挖去后新几何体中有两组面弥补了原图形表面积，但还有一组面是多出来的，即ABFE和CDGH。因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积多两个 ABFE 的面积。 表面积 = 8×8×6+(2×3)×2=396 ♛由图3可知，挖去后新几何体比原来正方体的总面积多出了上下左右四个面的面积。 表面积 = 8×8×6+(2×3)×2+(2×4)×2=412 那如果穿透呢？
如上图，分别从棱长为8的正方体角上、棱上、面上挖去一个2×4×8的长方体，求新几何体的表面积。 （1）由图1可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面共少了2个AEHD面，表面积 = 8×8×6－(2×4)×2=368。 （2）由图2可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了2个AEHD面，而左右面共多了2个AEFB 面。表面积 = 8×8×6-(2×4)×2+(2×8)×2=400。 （3）由图3可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了2个AEHD面，而左右面共多了2个AEFB面，上下面也多了2个EHGF面。 表面积= 8×8×6-（2×4）×2 +（2×8）×2 +（4×8）×2 = 464.  当然，计算表面积还有很多不同的题型。在学习这些题目的时候，可以借助实物或媒体演示，更直观。   |
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