基于一阶微分方程的建模在第1.3节，我们看到了如何将一阶微分方程作为一个数学模型来研究种群增长、放射性衰变、物体冷却、混合物、化学反应、从水箱排出的液体、下降物体的速度和串联电路中的电流。使用第2章中讨论的方法，我们现在能够解决3.1节中经常出现的一些线性微分方程和3.2节中经常出现的非线性微分方程。 3.1 线性模型介绍： 在本节中，我们解决了在第1.3节中介绍的一些线性一阶模型。增长和衰变 初始值问题 其中 是比例常数，用作描述涉及增长或衰变的各种现象的模型。在第1.3节中，我们看到在生物应用中，某些群体（细菌、小动物）在短时间内的增长速率与时间 的存在群体成正比。知道某个任意初始时间 的群体数量后，我们可以使用（1）的解来预测未来的群体数量，即在时间 时的群体数量。在（1）中的比例常数 可以通过解初始值问题后，使用在时间 进行的 的后续测量来确定。在物理学和化学中，（1）以一阶反应的形式出现 - 即反应的速率或速度 与时间 时未转化或剩余的物质量 成正比。铀-238（铀）通过放射性衰变成为钍-234（钍）就是一种一阶反应。 例1 细菌生长一个培养物最初有 个细菌。在 时，测得细菌数量为 。如果生长速率与时间 时存在的细菌数量 成正比，确定细菌数量翻三倍所需的时间。 解决方案: 首先，我们解决了（1）中的微分方程，将符号 替换为 。以 为初值条件，得到 。然后，我们使用经验观察到的 来确定比例常数 . 注意到微分方程 既是可分离的又是线性的。将它变为线性一阶微分方程的标准形式， 我们可以通过检查得出积分因子是 。将方程的两边乘以这个项并积分，依次得到 因此，。在 时，得到 ，所以 。在 时，我们有 ，或者 。从最后一个方程中得到 ，所以 。为了找到细菌数量翻三倍所需的时间，我们解 ，得到 ，或者  注意在例1中，实际数量 在确定培养物中细菌数量翻三倍所需的时间时没有起作用。初始种群为100或细菌，仍然需要约2.71小时才能翻三倍。 如图所示，指数函数 在 时随着 的增加而增加，在 时随着 的增加而减少。因此，描述增长（无论是种群、细菌还是资本）的问题具有正值的 ，而涉及衰变（如放射性衰变）的问题产生负值的 。因此，我们说 要么是增长常数 ，要么是衰变常数 。  半衰期在物理学中，半衰期是衡量放射性物质稳定性的指标。半衰期简单地是使初始量 中的一半原子衰变或转化成另一种元素的时间。物质的半衰期越长，稳定性越高。例如，高度放射性的镭-226（Ra-226）的半衰期约为1700年。在1700年内，Ra-226的一半数量将转化成氡（Rn-222）。最常见的铀同位素，U-238，约有年的半衰期。在大约45亿年内，U-238的一半数量将转化为铅（Pb-206）。 例2 钚的半衰期一个增殖反应堆将相对稳定的铀-238转化为同位素钚-239。经过15年的观察，确定 的初始量中 的钚已经衰变。如果衰变速率与剩余数量成正比，请找出这种同位素的半衰期。 解决方案：让 表示时间 时剩余的钚量。与例1一样，解初值问题 得到 。如果 的原子中 已经衰变，那么仍然有 的物质剩下。为了找到衰变常数 ，我们使用 ，即 。解得 。因此，。现在，半衰期是使 的时间。解得 为 ，或者 。最后一个方程得到 碳14测年法
例3 化石的年龄发现一块化石骨头含有其原始量的 的C-14。确定化石的年龄。 解决方案: 与例2一样，起点是 。为了确定衰变常数 的值，我们使用 或 这一事实。最后一个方程意味着 ，所以我们得到 -0.00012097 。因此 。对于 ，我们有 和 。因此 在示例3中找到的年龄实际上已经接近这种方法的准确性边界。通常的碳-14技术限制在同位素的大约10个半衰期，或大约60,000年左右。这种限制的一个根本原因是C-14的半衰期相对较短。还有其他问题：需要进行化学分析来获得剩余 的准确测量，当浓度达到约 时，这个分析变得相当困难。此外，这种分析需要破坏相当大的样本。如果这个测量是间接完成的，基于标本的实际放射性，那么很难区分来自标本和正常背景辐射的辐射之间的区别。但最近，使用粒子加速器使科学家能够直接分离 和稳定的 。当计算出 到 比例的精确值时，这种测年方法的准确性可以延伸到 年。因为这些原因以及 测年仅限于有机材料，所以这种方法主要由考古学家使用。另一方面，对于关于岩石年龄或地球年龄的问题感兴趣的地质学家使用放射性测年技术。放射性测年是由物理化学家欧内斯特·卢瑟福（1871-1937）于约1905年发明的，它基于天然放射性同位素的放射性衰变，这些同位素具有非常长的半衰期，并使用已知的衰变速率来比较这种衰变同位素的测量数量和其衰变产物之一。使用钾-氩、锶-铷或铀-铅的放射性方法可以测定某些种类的岩石年龄为数十亿年。 牛顿的冷却/加热定律在第1.3节的方程（3）中，我们看到了牛顿对物体冷却/加热的经验定律的数学表述，即线性一阶微分方程： 其中 是比例常数， 是 时物体的温度， 是环境温度，即物体周围的介质的温度。在示例4中，我们假设 是恒定的一个常数。 示例 4 蛋糕的冷却当蛋糕从烤箱中取出时，其温度测得为 。三分钟后，它的温度降至 。蛋糕要冷却到室温 需要多长时间？ 解决方案：在（2）中，我们确定 。然后，我们必须解决初始值问题 并确定 的值，使得 。方程（3）既是线性的又是可分离的。如果我们分离变量， 得到 ，因此 。当 时，，所以 ，得到 ；因此 。最后，测量 导致 ，或 。因此 我们注意到（4）没有有限解满足 ，因为 。然而，我们直觉地期望蛋糕在相当长的时间后达到室温。"长" 是多久？当然，我们不应该因为模型（3）与我们的物理直觉不完全一致而感到困扰。图（a）和（b）清楚地显示，蛋糕大约在半小时内会接近室温。  在（2）中的环境温度不必是恒定的，而可以是时间 的函数 。 混合物物质的混合有时会产生线性一阶微分方程。当我们在第1.3节中讨论两种盐水溶液的混合时，我们假设混合槽中盐的数量变化的速率 是净速率： 示例 5 两种盐水溶液的混合回想一下，在第1.3节中考虑的大水箱容纳了300加仑的盐水溶液。盐水进入和离开水箱；盐水以每分钟 的速度泵入水箱；它在那里与溶液混合，然后混合物以每分钟 的速率泵出。流入或进入的盐水的盐浓度为 ，因此盐以速率 进入水箱，并以速率 离开水箱。根据这些数据和（5），我们得到了第1.3节的方程。让我们提出一个问题：如果最初在300加仑中溶解了50磅的盐，那么长时间后水箱中有多少盐？解决方案 为了找到时间 时水箱中的盐量 ，我们解初值问题 请注意，这里的边界条件是水箱中的初始盐量 ，而不是水箱中的初始液体量。现在，由于线性微分方程的积分因子是 ，我们可以将方程写成 积分最后一个方程并解出 给出一般解 。当 时，，因此我们发现 。因此，在时间 时水箱中的盐量为 解（6）用于构建图中的表格。另外，从（6）和图可以看出，随着 ，。当然，这是我们直观期望的；长时间内溶液中的盐磅数必须是 。  在示例5中，我们假设泵入溶液的速率与泵出溶液的速率相同。但这未必是事实；混合的盐水溶液可以以比泵入水箱的盐水溶液速率 更快或更慢的速度泵出。下一个示例说明了当混合物以比泵入水箱的盐水溶液速率更慢的速度泵出的情况。 示例6 重新审视示例5如果示例5中的搅拌充分的溶液以较慢的速率泵出，例如 ，那么液体将以速率积累在水箱中，即 经过 分钟， 将积累，所以水箱将包含 加仑的盐水。然后，流出的浓度是 ，盐的输出速率是 ，或者 因此，方程（5）变为 最后一个方程的积分因子是 因此，在乘以这个因子之后，方程被表达为 积分最后一个方程得到 。通过应用初始条件 并解出 得到解 。正如图所示，不出所料，随着时间的推移，盐在水箱中积聚，也就是说， 当 。  串联电路对于只包含电阻和电感的串联电路，基尔霍夫第二定律规定电感器上的电压降 和电阻器上的电压降 之和等于电路上的激励电压 。参见图。  因此，我们得到了电流 的线性微分方程， 其中 和 分别称为电感和电阻。电流 也被称为系统的响应。 电容器上的电压降与电容 给出为 ，其中 是电容器上的电荷。因此，对于下图中所示的串联电路，基尔霍夫第二定律给出 但电流 和电荷 之间存在关系 ，因此（8）变成了线性微分方程  示例7 LR串联电路一个12伏特的电池连接到一个串联电路中，其中电感为 亨利，电阻为 。如果初始电流为零，确定电流 。 解:从（7）中我们可以看出，我们必须解方程 在 的条件下。首先，我们将微分方程乘以2，并得到积分因子 。然后我们得到 积分方程的两边并解出 给出 。现在 意味着 或 。因此，响应是 。我们可以写出（7）的一般解： 特别是，当 是一个常数时，变为 注意，当 时，方程中的第二项趋近于零。这样的项通常称为瞬态项；任何剩下的项都称为解的稳态部分。在这种情况下， 也被称为稳态电流；对于时间的大值，电路中的电流似乎只受欧姆定律 的控制。 备注示例1中的初值问题的解 描述了任何时间 的细菌群体的数量。当然， 是一个连续函数，在区间 中取所有实数。但由于我们在谈论一个人口，常识告诉我们 只能取正整数值。此外，我们不会期望人口持续增长 - 也就是说，每秒、每微秒等等，正如我们的解所预测的那样；可能会有一些时间间隔 其中根本没有增长。因此，图所示的曲线可能更真实地描述了 ，而不是指数函数的曲线。通常，使用连续函数来描述离散现象更多是一种便利而不是准确性的问题。然而，对于某些目的，如果我们的模型在宏观时间上相当精确地描述了系统，如图和中所示，而不是像图那样在微观时间上描述。 
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