从傅里叶变换到拉普拉斯变换

【前期基础阅读】

傅里叶级数的来龙去脉

傅里叶级数→傅里叶变换

周期信号可以分解成不同频率的正弦信号之和，这就是傅里叶级数。非周期信号可以看成周期趋于无穷大的周期信号，也就得到了傅里叶变换。

• 【1】傅里叶变换的局限性

而到1810年，傅里叶在之前基础之上修改的论文《热在固体中的运动理论》中，将傅里叶级数的条件推至非周期信号变成了傅里叶变换。拉格朗日仍然从文章的严格性和普遍性上给予了批评，最终文章没能发表。

傅里叶在《热的解析理论》这本书中并没有对任意函数可以展成三角级数进行证明，只给出了一些严密的论证。

狄利克雷对傅里叶尤为尊敬，受其在数学物理方面工作的影响颇深。1829年，他在克雷尔杂志发表的他最著名的一篇文章《关于三角级数的收敛性》，就是有关热传导理论的影响下写成的。而后，狄利克雷完善了傅里叶级数的理论。这就是傅里叶变换成立的条件——狄利克雷条件。

狄利克雷条件是函数存在傅里叶变换的充分条件：

(1)在一周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点；

(2)在一周期内，函数只有有限个极大值和极小值；

(3)在一周期内，函数是绝对可积的，即

狄利克雷条件是指在应用傅里叶变换时，信号 f(t) 必须满足一些条件，以确保傅里叶变换的合法性和可逆性。本质就是这位傅里叶的粉丝把傅里叶变换不成立的情况都排除了。狄利克雷确实是傅里叶的铁杆粉丝。如同硬十的铁杆粉丝为了说硬十是五百强，虽然不是世界五百强，但是是杭州市余杭区五常街道五百强，为了傅里叶说法能成立加了N多限制条件。

这个条件一加，其实很多常用函数都不能满足这个条件，也就不能进行傅里叶变换了，例如：指数函数、二次函数、常数函数，都不能进行傅里叶变换了。

信号必须是绝对可积的：这意味着信号的能量必须有限，即信号的积分在整个实数范围内必须收敛。如果信号不满足这个条件，傅里叶变换可能不存在或者无法收敛。信号必须是分段连续的：这意味着信号可以在有限的时间间隔内被分割成多个连续的部分，每个部分都是连续的。如果信号在某些时间点上不连续，傅里叶变换可能会产生奇异性。傅里叶变换可能会产生奇异性，这意味着在频域中的傅里叶变换结果在某些频率上变得无界或不收敛。奇异性通常发生在信号中包含突变、脉冲或间断的情况下。具体来说，如果信号在某些时间点上存在间断或不连续，那么在傅里叶变换中，这些不连续点可能导致频域中的奇异性。这是因为傅里叶变换是一个积分变换，它对信号在整个时间域上的积分进行操作。如果信号在某些点上出现突变，积分操作可能会引发频域中的无限幅度或相位不确定性。

一个经典的例子是方波信号，它在某一时刻上由正数突然跳变为负数，或者由负数跳变为正数。方波信号在傅里叶变换中会产生奇异性，因为突变点会导致频域中的频率分量无限增加，这被称为'吉布斯现象'。吉布斯现象表现为频域中出现振铃效应，即频率分量周围会有振铃或波动。

狄利克雷条件的目的是确保傅里叶变换的正确性和可逆性。如果信号不满足这些条件，傅里叶变换可能会出现问题，例如产生无限大的幅度或相位不确定性，这使得傅里叶变换在处理一些信号时不够可靠。

傅里叶变换要求信号满足狄利克雷条件，以确保它在频域中的分解是合法的，这有助于我们理解信号的频率成分和在频域中对信号进行处理。如果信号不满足这些条件，可能需要采取额外的方法来处理信号或使用其他变换技术。

• 【2】拉普拉斯变换解决傅里叶变换的局限性

傅里叶变换已经适用于很多函数，但是不满足狄利克雷条件的函数怎么办？特别是绝对可积的条件限制了很多函数。那将函数转化成绝对可积的函数。

伟大的数学家拉普拉斯想到了一个绝佳的主意：把不满足绝对的可积的函数乘以一个衰减的函数e的负指数函数，这样在趋于无穷时原函数也衰减到零了，从而满足绝对可积。其数学表达是：

f（t） →  f（t）e^-αt

则有：

这个函数就满足了收敛性了，并且在正半轴肯定可积。

例如一个函数f（t）=t²，这个函数不是收敛的，从0到∞积分是不可积的。一般来说实际工程中，我们只需要考虑时间0到∞，所以我们变换积分，原函数f（t），做成分段函数，t小于0时，f（t）=0，所以积分只需要0到∞进行积分。

但是f（t）e^-αt= t² e^-αt确是可积的。新函数f（t）e^-αt的傅里叶变换就变成了：

令s=α+jω，则有

即，拉普拉斯变换为：

当然α也不是随便选的，必须满足一定条件f（t）e^-αt才能收敛，这就是所谓的收敛域。但是可以做拉普拉斯变换的函数比傅里叶变换的函数多了很多。

• 【3】拉普拉斯变换符合更多自然规律

我们知道，弹簧的震动、钟摆的摆动、水波，他们在时间上都符合简谐运动。这些正弦曲线存在衰减，看似单频运动实际是受到阻尼的衰减运动。

事实上这些运动会按照一种指数衰减的模型逐渐变小，最终趋近于零。自然界中有种种现象符合指数衰减的现象：地震波的传递、放射性物质的衰变。傅里叶变换可以让我们通过变换得到函数中存在哪些正弦曲线，即哪些频率的分量，却不能很好的处理衰减因素。

这样看来拉普拉斯变换在这些场景下更符合震动加衰减的自然场景。

s=α+jω，ω代表频率，α代表衰减因子。

• 【4】拉普拉斯变换是傅里叶变换更泛化的形式（更普遍的形式）

我们来观察拉普拉斯变换，可以看出，输入是一个复数s，输出也是一个复数。

傅里叶变换是拉普拉斯变换的一种特殊形式，即α=0的时候，拉普拉斯变换就是傅里叶变换。很多文献中用一个立体图来表示这个变换关系。这个立体图会比较难理解。我们分解一下这个立体图：

1、红色坐标表示输入的实部，衰减因子α

2、绿色坐标表示输入的虚部，频率 ω

3、水平的平面（红色和绿色坐标形成的平面）表示输入，这个平面的任意一个点表示s，s=α+jω

4、输出我们用模+相位的方式来表示一个复数，用在蓝色轴上的值表示复数模的大小，即高度表示模，然后用一个角度θ表示复数的相位。因为一个复数可以表达为：

任何复数都能用模和相位表示，复数z=a+bi的相位，是指向量(a,b)与实轴的夹角，夹角α=arctan（b/a)，其主值在（0,2π）之间。其的模是指向量（a,b)的长度，记作∣z∣，即∣z∣=√（a²+b²)。

但是看到下面这个图，你是不是还是很想哭？

其实，就是在α取不同值的时候的傅里叶变换的结果。因为拉普拉斯变换的本质就是搞一个确定的α，然后做傅里叶变换。只要α确定，拉普拉斯变换的结果就是下图中的其中一个黑色的线是其结果。对f（t）直接做傅里叶变换是三维图像中α等于0时的切面，即下图中黑线在绿色坐标线上的图形。

本图引用自《拉普拉斯变换的几何直观理解》CSDN博客papaofdoudou

• 【5】拉普拉斯变换解微分方程很容易

函数n阶导数的傅里叶变换等于其傅里叶变换乘以iω的n次方。

例如我们有个微分方程：

已知f（t），我们根据上式知道y（t）的导数与f（t）的关系，计算y（t）的表达式。

有傅里叶变换的这个特性，我们就可以运用傅里叶变换，来获得y（t）与f（t）傅里叶变换之后的关系了。而且用乘法来代替导数运算了，太方便了：把微分方程编程简单的代数方程了（大家学习数学过程中最困难的应该也是各种解微分方程的计算）。

于是，我们用Y（ω）表示y（t）的傅里叶变换后的函数，用F（ω）表示f（t）变换后的函数。于是：

因为傅里叶变换的严苛条件（狄利克雷条件），导致这个解方程的方法也有严苛的条件。

那么我们做拉普拉斯变换跟傅里叶变换一样可以求解微分方程，并且他没有傅里叶变换的那么多限制。所以拉普拉斯变换被大量应用于求解常微分方程和积分方程。

函数的拉普拉斯变换我们可以通过查表得到：

• 【6】拉普拉斯变换在电路中的应用

（a）利用拉普拉斯变换来分析电路的参数过程如下：

第一步：将输入激励进行拉氏变换；

第二步：直接将电路中的R，L，C元件的拉氏变换形式写出来，列写所求的变量与激励之间的关系；

第三步：反解复频域形式的变量；

第四步：将复频域形式的变量做拉氏反变换。

（b）元件的时域与复频域形式的电压电流关系（电压电流均取关联参考方向）

（c）例题分析

如图所示电路处于稳态，S一开始是断开状态。t=0时，开关S瞬间闭合，求电流i_L（t）。

解题过程是直接对电路进行频率的描述，然后计算，再做拉普拉斯逆变换。

本文收录硬十第三本书 DCDC电源篇

前两本书：