【高中数学精讲】正弦定理

【学习导引】三角形有三个角和三条边这六个元素，我们经常会遇到已知其中的三个元素去求另外三个元素这样的问题。当三角形是直角三角形时，这一问题在初中已经解决，但实际生活中，更多的是遇到解斜三角形的问题。此时我们就需要用到正弦定理或余弦定理来解决。本期课我们学习正弦定理。
一、正弦定理
如图所示，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系。设分别为所对的边长，为边上的高，则点的坐标分别为、、.
根据三角形的面积公式，有:,
即.
同理可得：,
.
这就是说，三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半. 将等式同除以,得:
.
即：.

正弦定律：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等.即：
.

如图，己知圆是的外接圆，直径为，试用与的三角函数来表示三角形的三条边长.

因为三角形内角和等于，因此中一定存在两个锐角，设为锐角.过作直径，联结，可知为直角三角形，且:
,
∴,
即,
由正弦定理得:
.

扩充的正弦定律：若三角形的外接圆半径为，各边与它所对角的正弦的比相等,且该比值为.即：.

二、三角形面积公式的推导
1.公式的证明如下,如图所示：,
∴.

2.公式的证明如下:
∵,
∴.

三、活用正弦定理的方法与技巧
活用正弦定理,首先要准确把握正弦定理的作用:正弦定理反映了三角形中三条边与其对应角的正弦的关系,它的主要作用是实现三角形中边角关系的转化.其次在于观察、分析问题,确定解题的基本方向——是“边化角”,还是“角化边”,再灵活地选择相应的变形公式，同时需要挖掘三角形中的隐含条件。

【例题1】若的三个内角满足,且最大边为最小边的倍，求该三角形三个内角之比.
详解∵,
∴,故.
令,
则最小边为所对的边,最大边为.
根据正弦定理有：,
∴,
化简得：.
∴,故.
∴,
∴,
∴.

【例题2】的内角的对边分别为,且.
（1）求的值；
（2）的平分线与交于点，若，求面积的最小值.
详解:由正弦定理得扩充形式：

可得：,
∵,
∴.
∵，
∴,
∵,
∴.
∴,
根据两角和、差的正弦公式对上式展开可得：

,
化简得：.
∵，∴.
∵,∴.
（2）如图所示：∵平分且,
∴.
∵
∴
,
整理得：,
∴，当且仅当时，等号成立，
∴面积的最小值为:

.

【例题3】在中，分别是角的对边，设,,求的值.
详解:由正弦定理：
,
得：.
∵,
∴,
即：.
由和差化积公式可得：.
∴.
即：.
∵,
∴,
化简得：.
由二倍角公式可知：,
∴,
∴.
∵,
∴.
∴
.