 【冲刺提分】方法技巧·利用正、余弦定理求解三角形问题 所属专辑：【冲刺提分】方法技巧·三角函数 靳晓杰老师  笔记简介 通过例题展示这类题目的命题规律，通过解析与方法探究来提炼解答这类题目的通性通法。 典例1
（2015·广东卷）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a= ,sin B= ,C= ,则b= .
由sin B= 可以得到角B有两个值,再结合角C就可以得出角B只有一个值,这样的判断必须有,否则,就会出错.
正弦定理主要解决已知三角形两边及其中一边的对角、三角形两内角及其中一边两类问题(余弦定理主要解决已知三角形两边及其夹角、三角形三边两类问题),在运用正弦定理时不需要知道其中的三个量才能求第四个量,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用,不要一味地寻找使用正弦定理的具体条件. 典例2
（2015·湖北卷）如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.
【解析】依题意,∠BAC=30°,∠ABC=105°.在△ABC中,由∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠ACB=45°,因为AB=600 m,由正弦定理可得,即BC=300 m.在Rt△BCD中,因为∠CBD=30°,BC=300 m,所以tan 30°=,所以CD=100 m. 【答案】100
求解这类问题,首先要熟悉测量问题中常用的一些术语,如坡角、仰角、俯角等;其次要将问题不断地转化为解三角形的问题,并最终利用正、余弦定理解决问题;最后就是注意问题求解的结果要和实际问题相符合. 典例3
（2015·安徽卷）在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos =18+36-(-36)=90, 所以a=3. 又由正弦定理得sin B=, 由题设知0B,所以cos B=. 在△ABD中,由正弦定理得AD=.
找已知，梳理已知条件，确定三角形中已知的边与角；
选定理，根据已知的边角关系，灵活选用定理和公式；
求值，代入边角关系，利用正、余弦定理进行求值；
回顾反思，当已知三角形内角的和或差的三角函数时，要对这些三角函数式进行变换，且注意三角形内角和定理的应用. zongjie 本题将解三角形、三角恒等变换等知识结合在一起考查,题目基础而又精巧,既符合在知识交汇点构题,又能加强对“双基”的考查. 典例4
(2014·陕西卷)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.
(1)∵a,b,c成等差数列, ∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得cos B==≥=, 当且仅当a=c时等号成立. ∴cos B的最小值为.
在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 感谢你阅读微学笔记！ 这里是您的云端笔记资料库，长图文笔记贴，一页尽览知识点！ 剪辑、粘贴、拼接，轻松三步，即可快速创建自己的私人微笔记！ |
