【原】第18招：偷天换日-解三角形中的范围问题

第18招：偷天换日 - 解三角形中的范围问题

解三角形是高考的热点题型,解三角形中求最值或者取值范围的问题,是解三角形中相对较难的一类考题,从高考题型以及各类模拟题中分析总结来看,基本上分为两种类型:第一类是利用函数思想(如转化为关于某个角的函数),运用三角函数、二次函数等函数有关知识,利用函数思想求最值或取值范围的问题;第二类是运用正弦定理、余弦定理转化为边之间的关系利用不等式性质、基本不等式等,结合余弦定理求最值或取值范围的问题.在解题过程中,要注意正弦定理,余弦定理以及三角恒等变换公式的选择和运用,注意题目中隐含的各种限制条件(如三角形内角和等于180°,两边之和大于第三边等),选择合理的方法解题.

(2019·全国III卷理·18)的内角的对边分别为,已知.

(1)求;

(2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.

【答案】(1);(2).

【解析】(1)意根据题,由正弦定理得,因为,得,消去得.

由,可得,故,

因为,所以,所以.

(2)由题设及(1)知的面积,

由(1),得到,

由正弦定理得,

由于是锐角三角形,故,,结合,得,所以,从而.

因此面积的取值范围是.

【点评】本题考查了三角函数的基础知识,正弦定理、余弦定理的运用,最后考查是锐角三角形这个条件的利用.

(1)利用正弦定理将已知式子统一成角的关系,得到关于角的三角方程,再利用诱导公式、二倍角公式变形化简,解出的正弦值,最后根据均为三角形内角解得.

(2)结合(1)及已知,把三角形面积表示成的函数,再利用正弦定理将表示为关于的函数,由锐角三角形及角的大小,确定角的范围,进而得解.此题也可以用余弦定理利用边的关系求解,过程如下:

(2)由题设及(1)知的面积,

由余弦定理和,,得.

由是锐角三角形,得于是即

得,从而.

因此面积的取值范围是.

(2020·浙江卷·18)在锐角中,角的对边分别为,且.

(1)求角的大小;

(2)求的取值范围.

【答案】(1);(2)

【解析】(1)由,结合正弦定理可得:

.

因为,得,消去得.

又△ABC为锐角三角形,故.

(2)由得,

.

由可得:,于是,

则,所以.

即的取值范围是.

【点评】(1)首先利用正弦定理边化角,然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小;

(2)结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式,然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围,最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.

解三角形的基本策略:一是边角互化,利用正弦定理、余弦定理实现“边化角”或“角化边”.由正弦定理,设,

边化角有:;

角化边有:;

由余弦定理有:.

二是善于利用三角形内角和定理消元(转化).

三是注意观察已知条件(或条件的变式)和某个公式(或公式的部分)是否相似?若有,则可考虑用这个公式,由此打开解题的突破口.

1.(2020青岛模拟)的内角的对边分别为,已知.

(1)求;

(2)若为锐角三角形,且,求面积的最大值.

2.(原创)的内角的对边分别为,已知.

(1)求;

(2)若锐角三角形的外接圆半径,求周长的取值范围.