必刷大题9 解三角形1.(2023·郑州模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2ccos C=acos B-bcos(B+C). (1)求角C; (2)若c=6,△ABC的面积S=6bsin B,求S. 解 (1)因为A+B+C=π,所以cos(B+C)=-cos A, 所以2ccos C=acos B+bcos A, 由正弦定理得2sin Ccos C=sinAcos B+sin Bcos A=sin(A+B). 因为sin(A+B)=sinC,所以2sin Ccos C=sinC. 因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以cos C=,则C=. (2)由S=6bsin B,根据面积公式得6bsin B=acsin B=3asinB,所以a=2b. 由余弦定理得cos C==, 整理得a2+b2-ab=36,即3b2=36, 所以b=2,a=4. 所以△ABC的面积S=absin C=×4×2sin =6. 2.(2023·唐山模拟)如图,在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=bsin 2C+2c(sin A-sin Bcos C). (1)求sin C的值; (2)在BC的延长线上有一点D,使得∠DAC=,AD=10,求AC,CD. 解 (1)在锐角△ABC中,a=bsin 2C+2c(sin A-sinBcos C), 由正弦定理得sin A=2sinBsin Ccos C+2sin C(sin A-sinBcos C)=2sin Asin C,而sin A>0, 所以sin C=. (2)因为△ABC是锐角三角形,由(1)得cos∠ACB===, sin∠ADC=sin=(sin∠ACB-cos∠ACB)=×=, 在△ACD中,由正弦定理得==, 即===5,解得CD=,AC=, 所以CD=,AC=. 3.(2023·德州模拟)在①asin B=bsin;②(a+b)(sin A-sin B)=(b+c)sin C; ③bsin =asin B三个条件中任选一个补充在下面横线上,并解决问题. 问题:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足________. (1)求角A; (2)若A的角平分线AD长为1,且b+c=6,求sin Bsin C的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解 (1)选①:由asin B=bsin得, sin Asin B=sinBsin. 即sinA=sin, 则A=A-(舍)或A+A-=π, 所以A=. 选②:由(a+b)(sin A-sinB)=(b+c)sin C得, (a+b)(a-b)=(b+c)c, 即b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理得cos A==-, 又A∈(0,π),所以A=. 选③:由bsin =asin B得,sin =sinA, 即cos =2sin cos , 因为cos ≠0,所以sin =, 又A∈(0,π),所以A=. (2)由S△ABD+S△ADC=S△ABC得,(b+c)=bc, 即bc=b+c=6, 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-bc=36-6=30, 解得a=, 由正弦定理得===2R=2,即R=, 所以sin Bsin C===. 所以sin Bsin C的值为. 4.已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,且满足bcos C+bsin C-a-c=0. (1)求B; (2)若b=2,求锐角△ABC的周长l的取值范围. 解 (1)由bcos C+bsin C-a-c=0, 可得sin Bcos C+sin Bsin C-sinA-sin C=0 ⇒sin Bcos C+sin Bsin C-sin(B+C)-sin C=0 ⇒sin Bcos C+sin Bsin C-sinBcos C-cos Bsin C-sinC=0 ⇒sin Bsin C-cosBsin C-sin C=0 ⇒sin B-cosB=1 ⇒sin=, 因为B∈,所以B=. (2)因为B=,b=2, 利用正弦定理得====, 所以a=sin A,c=sin C, 所以l=a+b+c=2+(sin A+sinC), 所以l=2+ =2+4sin, 因为△ABC是锐角三角形,所以0<A<,A+B=A+>, 所以<A<,<A+<, 所以sin∈, 所以2+2<2+4sin≤6, 所以△ABC的周长l的取值范围为(2+2,6]. 5.(2022·沈阳模拟)如图,某水域的两条直线型岸边l1,l2的夹角为60°,某渔民准备安装一直线型隔离网BC(B,C分别在l1,l2上),围出养殖区△ABC. (1)若BC=6 km,求养殖区△ABC的面积(单位:km2)的最大值; (2)若△ABC是锐角三角形,且AB=4 km,求养殖区△ABC面积(单位:km2)的取值范围. 解 (1)由题意可知∠BAC=60°,BC=6. 在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC, 即AB2+AC2-AB·AC=36. 因为AB2+AC2≥2AB·AC, 当且仅当AB=AC=6时等号成立, 所以AB2+AC2-AB·AC≥AB·AC,即AB·AC≤36. 故△ABC的面积S=AB·ACsin∠BAC≤×36×=9. 即养殖区△ABC面积的最大值为9 km2. (2)因为AB=4,∠BAC=60°,所以△ABC的面积S=AB·ACsin∠BAC=AC. 在△ABC中,由正弦定理可得=, 则AC===+2. 因为△ABC是锐角三角形,所以 所以30°<∠ACB<90°, 所以tan∠ACB>,所以0<<, 则2<+2<8,即2<AC<8. 故S=AC∈(2,8),即△ABC面积的取值范围是(2,8). 6.(2023·广州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. (1)求角A的大小; (2)若a=1时b+λc存在最大值,求正数λ的取值范围. 解 (1)已知sin2A=sin2B+sin2C+sinBsin C,由正弦定理得a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc. 由余弦定理得cos A===-. 又A∈(0,π),所以A=. (2)由正弦定理===, 得b+λc=(sin B+λsin C)=[sin(A+C)+λsin C] = =sin(C+φ),φ∈,其中tan φ==. 因为C∈,要使b+λc存在最大值,即C+φ=有解, 所以φ∈,从而>,即0<2λ-1<3, 所以正数λ的取值范围为. |
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