北京市第十二中学高中部(100071) 刘 刚翻阅近些年的各类考题,发现解三角形中的取值范围问题比比皆是,解决这类问题通常要借助三角函数的有界性、均值不等式、导数等知识处理,有时也可以构造图形,从几何直观角度理解与认识.下面结合一道具体题目,谈一谈这些方法的应用. 题目 已知锐角ΔABC 中,a=1,A= 思路1 借助正弦定理,把b2+c2 转化为三角函数,然后分析角的取值范围,最后借助三角函数的有界性解决. 解法1 由正弦定理,得 因为ΔABC 为锐角三角形,所以 点评 以上化简与变形要熟练掌握三角公式,同时转化的目标要明确:把所求代数式化为A sin(ωx+φ)+k,其中ω>0(或A cos(ωx+φ)+k,其中ω>0)的形式,这样便于借助三角函数的有界性解决范围问题.同时,本题要特别注意角度B 的取值范围,有不少同学不加思考,认为由锐角三角形可得0<B< 变式1 已知a=(2 cos x,2 sin x),b=(sin(x- 解法2 因为a=1,A= (2)若锐角ΔABC 的三个内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且f(A)=1,求 解 (1) 略.(2) 由已知可得f(x)=sin(2x- 因为ΔABC 为锐角三角形,所以 思路2 设 点评 由于所求代数式b2+c2 有两个未知量,因此需借助余弦定理、换元等方式转化为一个未知量,接下来构造函数并借助导数研究,体现了函数与方程的思想. 因为ΔABC 是锐角三角形,所以 设f(t)= (1)求函数f(x)的零点; 变式2 (2019年高考全国Ⅲ卷理科第18 题) ΔABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a sin (1)求B; (2)若ΔABC 为锐角三角形,且c=1,求ΔABC 面积的取值范围. 解 (1)略,B= 因为ΔABC 为锐角三角形,所以 思路3 借助正(余)弦定理、均值不等式、三角函数的性质求解. 解法3 因为a=1,A= 点评 解法3 首先借助余弦定理以及均值不等式b2+c2≥2bc 得到了b2+c2≤2.怎样求b2+c2 的下确界呢? 先通过放缩得到不等式b2+c2>2b2-1 恒成立,接下来借助正弦定理得到b= 变式3 在ΔABC 中,B= 解 由已知得BD 是ΔABC 的中线,所以(2BD)2+AC2=2(BA2+BC2),把b=1 代入,得 因为B= 综上, 思路4 根据a=1,A= 解法4 如图1,作ΔABC 的外接圆O,因为a=1,A= 由余弦定理,得b2+c2=bc+1,且bc= 点评 由于b2+c2 的几何意义不易直接体现,所以联想余弦定理、三角形面积公式进行转化,即b2+c2=bc+1,且 图1 图2 图3 变式4 如图2,已知ΔABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形,D 为ΔABC 外的一点,且CD=2AD=2,则ΔBCD 面积的最大值为____. 解 如图3,以C 为原点,CD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则D(2,0).过点B 作x 轴的垂线,垂足为E,过点A 作BE 的垂线,垂足为F,由已知可得ΔBCE ∽=ΔABF,所以CE=BF,BE=AF. 设B(x,y),则点A 的坐标为(x+y,y-x).因为AD=1,所以(x+y-2)2+(y-x)2=1,化简,得(x-1)2+(y-1)2= 以上借助三角函数的有界性、导数、均值不等式、几何图形等方法解决了一道三角形中的取值范围问题,这些方法均是常用方法.在解决三角形中的取值范围问题时,由于方法多,所以不能局限于某一种解法,应鼓励学生从不同角度探索,培养学生的发散性思维.只有这样,才会串联起所学知识,形成知识网络,进而落实“四基”与“四能”,数学核心素养的提升也就指日可待了. 参考文献 [1]刘刚.一类三角试题的解法探究[J].数学通讯(上半月),2017(5):12-16. [2]赵毅.2019年高考全国卷Ⅲ第18 题[J].数理天地(高中版),2020(1):20-21. [3]刘刚,赵毅.一道习题的求解与拓展[J].数理天地(高中版),2016(9):2-3. |
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