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前面介绍过用于计算行列式的柯西—比内公式
定理(柯西—比内公式) 设A,B分别为m×n,n×m矩阵。如果S是{1, ...,n} 中具有m个元素的子集，我们记AS为A中列指标位于S中的m×m子矩阵。类似地，记BS为B中行指标位于S中的m×m子矩阵。则 当m>n时，|AB|=0；
当m≤n时， 若令式中B=AT，则 当m≤n时，式中最左边的行列式|AAT|的值就等于n维欧几里得空间中组成矩阵A的m个行向量所张成的m维平行多胞体的体积(面积)的平方(矩阵的几何意义)。|AS|则表示这个平行多胞体在一个m维坐标超平面上的m维投影体积(面积)，这样的坐标超平面有C(n,m)个。因此上式的几何意义就是n维欧几里得空间中m维平行多胞体的m维体积(面积)的平方等于它在所有m维坐标平面上的m维投影体积(面积)的平方和。当m=1，n=2时，平行多胞体就退化为线段，此时上式几何意义就是，二维直角坐标系中一条线段长度的平方等于它在两个坐标轴上投影长度的平方和。显然，这就是勾股定理。因此上式可以看成是勾股定理向高维空间的一种推广。
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