【原】重庆中考题型：关于特殊三角形和特殊四边形存在性问题的探究，一次性给你讲透，让你彻底掌握破解之道

特殊三角形或特殊四边形的存在性问题，是重庆中考近三年必考题型，这种题型，方法固定，思维难度不大，只要花点时间系统性训练就一定可以掌握。

先欣赏一下近三年的重庆中考真题，此题一般放在解答题倒数第二题的最后一问。

▲2023年重庆中考数学真题A卷第25题

▲2023年重庆中考数学真题B卷第25题

▲2022年重庆中考数学真题A卷第24题

▲2022年重庆中考数学真题B卷第24题

▲2021年重庆中考数学真题A卷第25题

▲2021年重庆中考数学真题B卷第25题

看完题目总结一下：

横向比较，2023年A卷探究菱形的存在性问题，B卷探究等腰三角形的存在性问题，相比而言B卷的比A卷简单。

2022年，A卷和B卷都是探究平行四边形的存在性问题。

2021年，A卷和B卷也都是探究平行四边形的存在性问题。

纵向比较，你会发现2023年有细微变化，按照这个趋势，说不定2024年会考查直角三角形或者矩形的存在性问题。当然，具体考查什么并不重要，只要你掌握了核心思维，完全不是问题。

那么，特殊三角形与特殊四边形的存在性问题到底怎么突破？

首先，我们得知道有哪些特殊的三角形？有哪些特殊的四边形？

特殊的三角形：等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形.

特殊的四边形：平行四边形、菱形、矩形、正方形.

按照考试出现的频率，可以排个序（数据来自2015年-2023年重庆中考数学真题AB卷）：

等腰三角形（6次）>平行四边形（5次）>菱形（3次）>直角三角形(1次)=矩形(1次)

注：2015年A卷和2019年A卷没有考查此种题型，2015年B卷出现了一次考查矩形的存在性问题，2016年B卷出现了一次考查直角三角形存在性问题，2021年和2022年连续两年都是考查平行四边形存在性问题。

其次，需要明白探究菱形的问题，可以转化到探究等腰三角形；探究矩形的问题，可以转化到探究直角三角形的问题。

最后，熟练使用两个公式建立方程，一个是距离公式，一个是中点坐标公式。

以上三个方面是基础知识，是必要的知识储备。

一、基础技能

第1题，让学生熟悉距离公式和中点坐标公式应用。

第2题，很多学生第一次接触的时候会选择画直角坐标系，把这些点描出来，然后观察判断三角形的性质。

而这种方式只是定性的判断，可以看作是猜想，数学是一门严谨的学科，怎样从定性到定量？这就需要使用距离公式，来分别计算三角形三边的长度。

这里其实已经体现数学思想，数形结合与转化思想。本来探究三角形的形状是一个几何问题，然而我们却转化成了对边长的计算问题。

第3题，继续巩固这种思维，强化距离公式的应用，会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形，巩固基础技能。

第4题，让学生更深层次地感受数形结合思想，平行四边形的对角线互相平分与中点坐标公式产生联系。

这4个题的练习，既是让学生学会使用中点坐标公式和距离公式，也是为后续探究平行四边形存在性问题缓冲认知上的障碍，起到一个过渡的作用。

二、探究平行四边形存在性问题

第1题，让学生会用基础技能探究平行四边形的存在性问题。

这个题的设计主要让学生认识到多边形的表示方法，要么用顶点字母顺时针表示，要么用顶点字母逆时针表示。这是很多学生第一次遇到这种问题容易忽略的地方。

分类讨论思想，从这里悄然而至。

平行四边形的存在性问题有两种分类讨论方式：

1、对线段AB按边和对角线进行分类讨论，这种分类方式需要用到平移，很容易发生漏解现象，学生极易产生思考负担，出现大脑混乱，不建议使用。

2、以相对的两个顶点（即对角线）为分类讨论依据，这种分类方式就显得简单易懂，只有三种情况。然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，借助中点坐标公式，列二元方程组，盲解盲算，不易漏解。

第2题巩固方法，让学生建立起解题自信，对不确定的点，学会设未知数把点的坐标表示出来，然后借助中点坐标公式，建立二元方程组，解决平行四边形存在性问题。

三、探究等腰三角形和菱形的存在性问题

第1题，学生发现点C不能确定，需要分类讨论，分类讨论的依据就显得格外重要了，在这里需要强调，以顶角的顶点为分类讨论依据。

然后借助距离公式建立方程，解方程即可。

第2题，跟踪训练，循序渐进地过渡，让学生明白，直线上的这个点C就是第1题的点C，再次认识到线是点的集合。点在线上，通过线的表达式，学会把点的坐标表示出来。

第3题，能力提升，让学生学会把菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题。我们知道菱形可以分割成两个全等的等腰三角形。

等腰三角形的两腰升级之后变成菱形的邻边。

邻边相等且对角线互相平分的四边形是菱形。

借助距离公式和中点坐标公式，建立三元方程组，剩下的交给计算。

第4题，总结归纳等腰三角形存在性问题的一般性情况，借助尺规作图，符合条件的点在两圆一线上，除去5个点导致三点共线，其它的点均符合要求。

四、探究直角三角形和矩形的存在性问题

类比探究等腰三角形和菱形的存在问题，探究直角三角形和矩形的存在性问题这部分内容可以让学生自主完成，让学生在探究的过程中找到战胜难题的成就感。

关于直角三角形的存在性问题还有其它解法，比如直角边所在直线斜率之积互为负倒数，也能够解决问题。这里我们探究的通法通解，所以就不作过多阐述。

五、课后作业

课后作业的设计，故意埋坑，再次让学生认识到数形结合的重要性。通过画图可以直观判断有哪些点，甚至有哪些点可能共线，需要在完成计算之后检验结果的合理性。

写在最后：

以上题目均属于原创，每个题的设计都带着个人思考。

关于平行四边形、等腰三角形、菱形、直角三角形和矩形的存在性问题，这些题目基本全部涵盖，循序渐进，符合学生认知规律。

此题表面上顶多4分，很多学生看到只有4分，会觉得就只有4分，学不会无所谓。

持有这种心态的学生肯定不在少数，毕竟此题的位置目前在重庆中考倒数第二题的位置，在学生的心智模式下，会认为这个题属于难题，不做也罢。

这时，要学会塑造此题的价值，其实这4分拿不到，前面的基础部分也不一定能拿到分，里面涉及解一元二次方程，前面有这方面的计算题至少10分起步，有二次函数或一次函数解析式的求解，你要会解二元一次方程组，计算题肯定会涉及到，至少10分起步。

反过来，掌握此题，会强化学生解一元二次方程的能力，解方程组的能力。

也就是说，要拿下这4分，至少需要具备20分的知识水平。

最后你会发现，想要突破此题，思维难度真的不大，对比之下，计算能力倒成了学生需要攻克的难点，近几年重庆中考对计算能力的要求也越来越高，所以务必要重视。

而计算能力的提升并非一日之功，需要长期的刻意训练和积累。