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本文作者：四川师范大学 梁勇
【解答过程展示】 思路一：从∠BED=∠BAC出发，构造等腰三角形△BEG （本解法由四川师大数学院2016级梁勇同学提供）
点评：此解法的巧妙之处在于构造等腰三角形△BEG,然后证明∠BGA=∠AGC,利用角平分线的性质,将未知两边之比转化为已知两边之比.解题关键是正确作出辅助线,具有一定的挑战性. 思路二：从∠CED=∠BAC出发,证明四点共圆
点评: 此解法的巧妙之处在于从已知条件入手, 合理地利用特殊角的条件构造辅助线,证得B、G、C、A四点共圆,回到了由思路1的后半部分证明. 思路三：从∠BED=2∠DEC出发,利用面积公式等价转化 （本解法由白鹤荆州中学白鹏老师提供）
（下附白鹏老师的证明过程）
点评: 此解法的巧妙之处在于从已知条件入手,利用同高或等高三角形底边之比等于面积之比,通过结论等价的代换,回到思路1的证明. 思路四：从AB=AC出发，利用正弦定理
点评: 此解法的巧妙之处在于从已知条件入手,通过旋转构造等腰三角形和直角三角形,将线段BE和CE放到同一个三角形中,通过命题等价转化,回到思路3的证明. 思路五:从2∠DEC=∠BED=∠BAC出发,利用等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍．(此思路共有两种构造方法) 方法1
方法2(本解法由四川师大数学院2016级梁勇同学提供)
点评：此解法的巧妙之处在于从已知条件入手,利用等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍，构造等腰三角形，方法1中利用全等三角形及等高三角形底边之比等于面积之比将两未知线段之比转化为面积之比，通过等价转化和运用正弦定理命题得证；方法2中通过相似三角形将两未知线段之比转化为两已知线段之比.两种方法的关键在于等腰三角形的构造. 思路六：利用三角形全等和正弦定理 （本解法由成都双流中学实验学校姜仁志老师提供）
点评：此解法的巧妙之处在于通过等价转化和运用正弦定理，将两未知线段之比转化为角的正弦的关系，角的正弦的关系转化为已知边的关系，技巧较强，对做题者的要求较高. 思路七:利用三角形外接圆和外心 方法1（本解法由四川师大数学院2017级罗元茂同学提供）
方法2（本解法由营山二中蒋黄琴老师提供）
点评：此解法的巧妙之处在于直接构造三角形的外接圆，方法一利用平行线构造相似三角形，命题得证；方法2最后利用两个共底三角形的面积之比就等于不相邻两个顶点的连线与这个共线边的线段的距离之比，将两未知线段之比转化为两已知三角形面积之比，大气。 思路八：取中点,利用四点共圆,证明三角形全等 (本解法由四川师大数学院2017级张鑫同学提供)
点评：此解法的巧妙之处在于思路简单清晰，直接取中点,利用四点共圆的性质得到一系列角和边的关系最后利用全等三角形命题得证. 【题后反思】 本题可以利用等腰三角形的性质和判定,四点共圆的判定及圆的性质,全等三角形的性质和判定, 角平分线的性质,相似三角形的判定,正弦定理, 三角形外接圆和外心的性质等知识点,考察知识面极广.本题解题关键是正确作出辅助线,具有一定的挑战性. 解决初中几何解答题一般有三种常规思路：从条件往推导结论,从结论往条件逆推,从条件和结论同时往中间推导。在中学几何证题时,我们需要注重“分析法”和“综合法”的共同运用;我们需要大胆地猜想，然后小心的求证(思路4);同时我们还应该学会变易证题，促成命题的等价转化(思路3,思路4，思路5，思路6和思路7);很多时候,适当添加必要的辅助线，“柳暗花明又一村”的惊喜也屡见不鲜，辅助线的作用在此题中体现得淋漓尽致. |
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