【学习导引】本期课开始我们学习高中解析几何的内容，本讲的主要内容是直线和直线方程。
一、直线的倾斜角和斜率
如图，直线与轴交于点，
将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所形成的的最小正角叫做直线的倾斜角.
当直线与轴平行或重合时，规定其倾斜角，因此直线的倾斜角的范围是.
当直线的倾斜角时，我们把的正切值叫做直线的斜率，记作.
当时，直线的斜率不存在（或称趋向无穷大）.
刻画直线方向的三个概念——方向向量、倾斜角和斜率之间的可以相互转化:
（1）若已知直线的方向向量，那么当时，斜率,倾斜角可以有求得;当时，斜率不存在，倾斜角;
（2）若已知直线的倾斜角，那么斜率,方向向量;
（3）若已知直线的斜率，那么倾斜角可以由求得，方向向量.
一般地，如果直线经过点和,其中，那么是的一个方向向量，于是直线的斜率,再由和，可求出直线的倾斜角.
二、直线的方程
如果在平面上作一条直线，使它经过某个已知点，且与已知的非零向量平行，那么这样的直线是唯一确定的。
在直角坐标平面上，已知非零向量,设点的坐标为,经过点,且与向量平行的直线，如图所示:
因为直线平行于向量,所以对直线上的任意点，都有.
设点的坐标为,可得向量.
由的充要条件，得：
①反之，如果是方程①的任意一组解，即：
那么把作为起点，把坐标为的点作为终点的向量与向量平行，即点在直线上.
（1）点方向式方程
由此可见，直线上所有的点的坐标都满足方程①，而以方程①的所有解作为坐标的点都在直线上.这样就建立了直线上所有点组成的集合与方程①的解的集合之间的对应关系,我们把方程①叫做直线的方程，直线叫做方程①的图形，把与直线平行的向量叫做直线的方向向量，向量是直线的一个方向向量.
如果向量的坐标都不为零，即时，那么方程①可化为:
②我们把方程②叫做直线的点方向式方程.
（2）点法向式方程
已知直线经过点,且与已知非零向量垂直，如何求出直线的方程呢?
如图所示，设为直线上的任意一点，则向量,
由题意可知,所以
③我们把与直线垂直的向量叫做直线的法向量，方程③叫做直线的点法向式方程;所有与平行的向量都是直线的法向量.
（3）点斜式方程
若直线经过点,斜率为(其中),则直线便被确定了，其方向向量，由直线方程的点方向式可得到方程为:
整理得：
当时，直线轴，其方程为,我们把上式叫做直线的点斜式方程.
（4）截距式方程
若直线与轴和轴分别交于点、,如图所示，
则直线也被确定了，我们把坐标分别叫做直线在坐标轴上的横截距和纵截距.
此时，直线的斜率，由直线方程的点斜式可知的方程为:
化简得：,
两边同除以得：我们把上式叫做直线方程的截距式.
（5）直线方程的一般式
从前面直线方程的所有形式我们可以知道，方程的任何一种形式均可化为关于的二元一次方程：
(其中不同时为零)
我们把该式叫做直线方程的一般式.
当时，则,方程可化为: ,此时直线垂直轴，且经过点;
当时，则,方程可化为: ,此时直线垂直轴，且经过点.
事实上，在满足一定的条件下，方程的各种形式之间均可相互转化.
