信号与系统(二十四)——取样定理2

01

傅里叶变换和系统的频域分析

取样定理 · 时域取样定理

现在以冲激函数为例，研究如何从取样信号fs(t)恢复原信号f(t)并引出取样定理。

设有冲激取样信号fs(t)，其取样角频率ω_s>2ω_m(ω_m为原信号的最高角频率)。fs(t)及其频谱F_s(jω)如图所示。为了从F_s(jω)中无失真地恢复F(jω)，选择一个理性低通滤波器，其频率响应的幅度为T_s,截止角频率ω_c(ω_m<ω_c<ω_s/2)，即

如图1所示。由图1可见

即恢复了原信号的频谱函数F(jω)。

根据时域卷积定理可得

由于冲激取样信号

利用傅里叶变换的对称性(反傅里叶变换)，不难求得低通滤波器的冲激响应为

为简便，选

化简后得

整理可得原信号为

(说明:在做卷积时可以直接运用冲激函数卷积的性质，并且可以将f(nT_s)视为常数，是因为卷积针对的变量是时间t，而和函数是对n累次求和，并且f(nT_s)中并没有变量t，因此可视为常数。)

上式表明，连续信号f(t)可以展开成正交取样取样函数(Sa函数)的无穷级数，该级数的系数等于取样值f(nT_s)。也就是说，若在取样信号f_s(t)的每一个样点处，画一个最大峰值为f(nT_s)的Sa函数波形，那么其合成波形就是原信号f(t)，如图1所示。因此，只要已知各取样值f(nT_s)，就能唯一地确定出原信号f(t)。

图1

时域取样定理

一个频谱区间(-ω_m,ω_m)以外为零的频带有限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔T_s(T_s<1/2f_m)上的样点值f(nT_s)确定。

需要注意的是，为了能从取样信号f_s(t)中恢复原信号f(t)，需满足两个条件：f(t)必须是带限信号，其频谱函数在|ω|>ω_m各处为零；取样频率不能过低，必须满足f_s>2f_m(即ω_s>2ω_m)，或者说取样间隔不能太长，必须满足Ts<1/2f_m，否则将发生混叠。通常把最低允许取样频率f_s=2f_m称为奈奎斯特频率，把最大允许取样间隔Ts=1/2f_m称为奈奎斯特间隔。

END