椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的三种定义综述

第一定义：

一般来说，一个概念最初的定义，都是比较直观的，因为它们是大佬们把从生活中得到的实践经验，再经过一次抽象后的结果。

人们发现，如果有一个动点M到两个固定点的距离之和保持不变的话，那么这个点运动的轨迹就是一个椭圆。

这个直观的印象实际来源于生产实践，课本上就是采用的这个例子：

把这个经验放在直角坐标系中进行再次抽象，就变成了如下的描述：

如果一个动点M(x，y)到两个定点F₁(-c,0)和F₂(c,0)的距离之和为定值2a（a>c），那么这个动点M的轨迹为椭圆。

解析几何的实质，就是把我们看到的几何图形通过代数表达式的方式展现出来，这是笛卡尔创建坐标系，赋予图形坐标变量的本来意愿。

引入坐标系之后，人们发现，几何图形一旦可以用坐标变量之间形成的等量方程来表达，立马可以得到另外一种意想不到的神奇效果，那就是：我们可以通过改变坐标变量的方式，来控制实际形成的几何图形。

一旦做到在抽象状态下图形可控，而不是非要通过实际动手展现最终的结果，那就大大提升了人们创造几何图形的能力。

这是一个伟大的跨域。

也就是说，任何图形都可以数字化表示，无论是一维的点、线，二维的平面，三维的立体图形，还是我们无法想象和看到的的四维以上的图形，都可以通过坐标变量之间的等量关系来表达。

这为现代工业的飞速发展，起到了非常重要的奠基作用。

好，还是回到我们椭圆的第一定义。

根据两点之间的距离公式，我们赋予动点M坐标(x，y)，根据上面的等量关系推导出椭圆的方程：

大致的推导过程如下：

建立直角坐标系，动点M(x，y)，两个定点坐标分别为（-c,0）和（c,0）。

两边同时平方：

继续整理：

继续两边平方：

推导完毕。

方程中的2a、2b分别称为椭圆的长轴和短轴，2c称为焦距。

有了这个方程，有关椭圆的一切细节就确定下来，有关椭圆的详细知识点和一些二级结论以及考点，请参看后续的短文介绍。

同样，如果动点M(x，y)到定点F₁(-c,0)和到动点F₂(c,0)的距离之差为定值2a(a<c)，则动点M的轨迹为双曲线

它的方程为

方程的推导方式和椭圆相似，稍微有些不同是，在双曲线的方程里，我们设定的是：

其余的地方，没啥不同，这里就不再啰嗦一遍。

椭圆和双曲线都是一个动点到两个定点之间，因为距离关系不同而产生的轨迹

但是，如果一动点M到一条定直线和一个定点的距离一直相等，那这个动点的轨迹就变成为一条抛物线：

上述抛物线的焦点在X轴右侧，它的方程为：

这里的p 值是指焦点到准线的距离，y轴从中一分为二，也就是坐标原点到准线，和原点到焦点的距离都是p/2。

以上三种曲线图形加上圆，甚至再把点和线都加在一起，都可以统称为圆锥曲线，因为它们都是一个圆锥和一个平面相切割，得到的直观图形。

它们图形不同，只是因为切割圆锥的平面角度不同而已。

可以看出，切割平面如果垂直于圆锥的轴线，且只是尖点接触的话，得到的就是一个点。

如果切割平面和母线平行，且只是和圆锥相切，则得到的是一条直线。

如果二者相交，垂直于切割后平面的轮廓就为一条抛物线。

如图所示，切割的角度不同，垂直于切割面就分别可以得到椭圆、双曲线和圆几种图形。

从直观上来说，上述平面和圆锥的切割图形就是我们见到的圆锥曲线，

但是，这种切割得到的曲线，是否符合圆锥曲线的定义呢？这需要用数学方法进行严格的证明才行，我们会在后续的章节中来完成它，现在继续圆锥曲线的第二定义。

第二定义：

第二定义是第一定义继续抽象化的结果。

因为人们发现椭圆、双曲线都是一个动点和两定点之间的距离关系形成的，但抛物线是一个动点到一个定点和一条定直线之间的距离关系来定义的，三者本来都是圆锥被一个平面切割后的结果，但为什么定义会出现如此大的差异呢？

从思维的层面来说，任何在几种特殊情况下发现的规律，在人们对事物的认识深入以后，都会发现另外一个更为广泛的规律，也就是说我们原来研究的特殊规律只是普遍规律的一种特例。

圆锥曲线的第二定义实际就是数学家和物理学家们努力统一的结果（这一点和圆锥曲线的光学性质有关，容我后续章节详叙）。

第二定义如下：

如果一个动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离|MF|，和这个动点M到一条不通过这个定点的定直线L的距离|MH|的比值为定值e的话，那么椭圆、双曲线和抛物线的定义就可以统一在一起。

也就是上述的比值如果满足：

那这个动点M的轨迹就是椭圆、双曲线或者抛物线中的一种。

为了方便理解，我们还是通过直观化的图形来说明这个第二定义：

我们称定点F称为焦点

定直线L称为准线，这条准线的方程为：

至于为什么这么定义，教材中是通过例题和习题来引入的，我们后续会详细介绍，此处只是拿来用而已。

如果0<e<1，那么，点的轨迹就是一个椭圆

如果e=1，点的轨迹就是一条抛物线

如果e>1，点的轨迹为双曲线

现在我们用第二定义，推导下双曲线的方程，看看是否和第一定义得到的结果相同。

准线有两个，我们采用准线在原点右侧的单一情形来推导：

OK，在上述的推导结果中，只要理清楚a和c的大小关系，就可以看到和第一定义相同的结果：

抛物线方程的推导需要把焦点和准线放到原点的两侧才行，我们这里把焦点放在左侧，准线放在右侧：

如果你采用准线左侧，焦点右侧，结果依旧OK。

这样第一定义和第二定义完美契合在一起了。

不过，圆锥曲线第二定义在新版的中学数学教材中没有明确给出，这就给很多同学造成了一种困惑，就是直接把抛物线和椭圆、双曲线之间完全割裂开来，不知道其实椭圆和双曲线也是存在准线的。

就现在的圆锥曲线题目而言，真正和第一定义结合紧密的，实际上是圆锥曲线的第三定义，这个定义采用的是完全抽象化的数学语言来描述点的轨迹。

第三定义：

如果动点M（x,y）到两个定点A（-a,0）、B(a,0)连线的斜率之积为定值时，点的轨迹为圆锥曲线中椭圆或者双曲线的其中一种。

这里的定值为，或者为0

先说等于0的极端情况：

首先，假设A为定点，B 为x轴极远处一定点，那么直线MB的斜率就趋近于0，MA的斜率和MB的斜率之积就为0，所以，根据这个第三定义，没办法推导出抛物线的方程。

换句话说，抛物线不存在第三定义。

但是，斜率的积为0，说明，此时，端点和焦点重合，也就是a=c，就比如我们可以把椭圆的短轴b逐渐压缩接近于0，此时图形会压缩为一条直线，或者说从原点向两侧射出的两条射线。

这个第三定义虽然没有办法推出e=1的时候，M 的轨迹为抛物线，但是，此时，准线和焦点是分列在y轴同等距离的两侧的，根据第一和第二定义都可以推导出抛物线的方程。

只不过在第三定义中，从数理的角度没有办法推导出来而已。

根据第三定义：

圆锥曲线的第一定义是源自于几何经验，容易理解和推导，所以，在教材中稳坐头把交椅。

第二和第三定义因为抽象化太重，而且并没有合适的具象图像可以匹配，作为知识点出现，只会增加同学们的思维负担，而且还会引起思维的混乱，所以只是在例题和练习题中作为一种解题思路出现，这就说明，中学圆锥曲线第一定义作为头把交椅的分量，是不可撼动的。

我们此处把第二和第三定义呈现给大家，只是提供解题思路的补充，或者显摆我知道的比学生多点而已，大家完全可以不必太关注。

今天的篇幅有点长了，必须打住了。

椭圆、双曲线、抛物线的更详细的知识点和一些常用的二级结论，会在后续的聊天中给大家仔细的梳理，大家关注后续的文章即可。

感谢您的阅读。文中如有错误或者您有更好的建议，恳请留言或者私信指正、探讨。