利用直接积分法只能计算一些简单的不定积分,因此必须进一步研究不定积分的求法.把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分,即利用变量代换的方法来求函数的不定积分,这种方法叫换元积分法. 定理1 设函数是的一个原函数,即,具有连续导数,则有 . 证明从略. 把上述定理改写成如下便于应用的形式 . 这种求不定积分的方法通常叫做第一类换元积分法,又称为凑微分法. 例1求. 解 因为 令,则,于是 , 再将回代,得 =. 例2 求. 解 因为,令,那么 , 将回代,得 . 例3 求. 解 因为,令,则 . 一般情况下,在解题熟练之后,可省略“令”这一步,直接写出结果. 例4 求. 解 这里,利用,所以 . 从上述几例可知,运用凑微分法求不定积分,必须熟悉基本积分公式.另外,下面微分公式也是今后求不定积分经常用到的. 例.5 求. 解 . 类似地,可以得到 . 例6 求. 解 . 类似地,可以得到 . 例7 求. 解 . |
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