第五十讲 定积分的性质

   . 

性质1  函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即

               .

这个性质还可推广到有限多个函数的情形.

性质2  被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

               .

性质3  如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即

        . 

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 

值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式成立.

性质4  如果在区间[a b]上f (x)º1 则. 

性质5  如果在区间[a, b]上 f (x)³0, 则(a<b). 

推论1  如果在区间[a, b]上 f (x)£ g(x) 则(a<b).

这是因为g(x)-f(x)³0, 从而, 所以. 

推论2   (a<b).

这是因为-|f (x)| £ f (x) £ |f (x)|, 所以,  

即

| .

性质6 (估值定理) 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值, 则

         (a<b).

证明  因为 m£ f (x)£ M , 所以,  

从而. 

性质7  (定积分中值定理)  如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点ξ, 使下式成立: . 

证明  由性质6  ,各项除以b-a  得,再由连续函数的介值定理, 在[a, b]上至少存在一点ξ, 使,

于是两端乘以b-a得中值公式.

定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会.

例1.比较下列各积分值的大小:

(1)与                (2) 与

解 (1)因为在[0,1]上,所以.

(2) 因为在[0,1]上,所以.

例2.估计定积分的值的范围.

解 设,因为,所以在[-1,1]上单调减少,从而

,,因此由估值定理有:.