第六十八讲 型的n阶微分方程

第六十八讲  型的n阶微分方程

     对于某些特殊形式的高阶微分方程，有的可以通过积分来求解，有的经过适当的换元将它降为较低阶的微分方程来求解，以二阶微分方程

            

为例，如果我们能作适当的换元将其从二阶微分方程降为一阶微分方程，并且能应用第二节中介绍的一阶微分方程的解法来求解，然后将换元还原，再对这个一阶微分方程求解，从而求得所给二阶微分方程

             

的解.

    本节主要介绍三种容易降阶的高阶微分方程及其解法.

一、型的阶微分方程

n阶微分方程

的特点是右端只含自变量，其解法是对上式两端连续积分次即得通解.

例1、解方程

解 

例2 求高阶方程的通解.

分析 右端只含有x项，所以可以直接积分求解.

解 两边同时积分得，

再次两边同时积分得  ，

再次两边同时积分得

，为任意常数.