八年级寒假特辑 之 直线方程不同形式的建立相关组织: 武汉经开外国语学校808天鲲之家 制作人员: 刘睿熙 审核人员: 刘睿熙
如图1所示, 这是在平面直角坐标系xOy内的一条直线l, 我们今天要研究的就是这条直线. 当直线l与x轴相交时, 我们以x轴为基准, x轴正向与直线l上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此, 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°. 我们把一条直线的倾斜角α ( α≠90° ) 的正切值叫做这条直线的斜率, 即k＝tanα. 具体情况如下.
经过两点P ( a, b ) , Q ( c, d ) ( a≠c ) 的直线的斜率公式为
对于斜率分别为j, k的两条不重合直线m, n, 若m∥n, 则j＝k, 反之亦成立, 依据分别为“两直线平行, 同位角相等”和“同位角相等, 两直线平行”. 对于斜率分别为j, k的两条直线m, n, 若m⊥n, 则jk＝－1, 证明如下.
这个命题的逆命题同样成立, 感兴趣的同学们可以自行用相似三角形的相关知识证明这个命题的逆命题. 以上是关于直线倾斜角和斜率的相关内容, 下面我们来谈谈直线的方程, 是同学们八年级下学期要探究的内容之一, 也是同学们比较感兴趣的内容, 这里给同学们提供几种直线方程形式的建立. 第一是点斜式方程. 对于一条已知过一点 ( a, b ) 和斜率k的直线, 我们表示其方程为y－b＝k ( x－a ) . 从本质上来说, 这条直线是由直线y＝kx向右平移a个单位长度、再向上平移b个单位长度所得到的. 对于其他类型的函数或图形的方程同样如此: 需要平移这个图形时, 将其x值整体减去要移动的横向距离, 再将其y值整体减去要移动的纵向距离. 注意, 这里提到“整体减去”, 对于横向移动m个单位长度而言, 是指要a＝x－m整体带入函数f ( a ) 中, 而非单单在函数的最后减去m, 对于纵向的移动亦然. 这一段语言可能有些晦涩, 请同学们细细品味, 下面我们会用直线y＝2x作为特殊例子, 希望同学们能够自行理解其在所有平面直角坐标系内图形和方程的特殊性.
如图3, 我们的目标是要将标为绿色的直线f ( x ) ＝2x向左移动一个单位长度, 则我们现在要做的应该是将x值整体减去－1, 即加上1, 则方程会变为g ( x ) ＝2 ( x＋1 ) , 就会得到标橙色的直线, 顺利地完成我们的目标. 但如果我们只是单纯地在方程的末尾加上1, 那我们就只能得到图中标为黑色虚线的直线h ( x ) ＝2x＋1,该直线方程可等同为h ( x ) －1＝2x, 相当于是在其函数值上减了1, 即可视为其图象沿着纵向向上移动了一个单位长度. 第二是斜截式方程. 对于一条已知斜率k和与y轴交点 ( 0, b ) 的直线, 我们表示其方程为y＝kx＋b. 从本质上而言, 斜截式方程是对于点斜式方程a＝0情况下的特殊化变形. “斜截式”一名的由来, 是对“截距”的定义: 我们把直线l与y轴的交点 ( 0, b ) 的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距, 也称为纵截距. 这里注意: 截距并非距离, 所以b值的大小随着直线l与y轴交点位置的变化而变化, 其值可以为任意实数. 而并非一切直线都有截距, 即不与y轴重合且垂直于x轴的直线与y轴没有交点, 此时其方程可以表示为x＝a ( a为直线与x轴交点的横坐标 ) . 特殊地, y轴的直线方程为x＝0. 第三是两点式方程. 我们把经过两点A ( a, b ) , B ( c, d ) ( 其中a≠c, b≠d ) 的直线方程
叫做直线的两点式方程, 简称两点式. 当b＝d或a＝c时, 不能用两点式方程: 若a＝c, b≠d, 则直线方程为x－a＝0 ( 或x－c＝0 ) ；若b＝d, a≠c, 则直线方程为y－b＝0 ( 或y－d＝0 ) ；若a＝c且b＝d, 则A, B两点重合, 我们都知道, 过一点可以作无数条直线. 第四是截距式方程. 对于已知与x轴和y轴交点 ( a, 0 ) 和 ( b, 0 ) 的直线, 我们表示其方程为
截距式方程的命名类似于斜截式方程: 我们把a叫做直线在x轴上的截距, 把b叫做直线在y轴上的截距. 类似地, a, b的值也可以为全体实数, 不用局限于非负的范围, 因为其在本质上是点的坐标, 而非距离. 同时需要注意的是, 截距式方程中间的连接符号必须为“＋”且方程右边结果必须为1. 第五是一般式方程. 我们把关于x, y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0 ( 其中A, B不同时为0 ) 叫做直线的一般式方程, 简称一般式. 感兴趣的同学可以将这个一般式通过等式的简单变形变化为上面提到的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程, 也可以将上面的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程转化为一般式方程, 这里就不多赘述了. 数学八年级下学期的课本中只提到了斜截式一种方程, 但以上提到的几种方程也是在做题过程中经常使用的. 在这里希望同学们做题时可以运用多种方式找到求直线方程的思路, 不拘泥于课本中给的待定系数法, 在恰当的时候使用恰当的直线方程可以使做题事半功倍. |
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