微积分初步———为什么要研究导数？

为啥要研究导数？因为它有如下的好处！

根据定义，如果一个函数可导，那么它的导数就是该函数变化率的极限值，也就是：

对一个可导函数来说，针对自变量求导的过程，在直观上的表现就是求函数曲线在各个点的切线斜率。

我们求出来的这个导数也会是一个函数，称为原函数的导函数，它是曲线切线的斜率关于自变量的函数。

比如函数:

针对自变量求导以后，会得到

这个函数是原函数的导函数，导函数的值表达的是原函数曲线切线斜率值的大小。

具体一点来说，如果导函数值

就表示对于这条曲线来说，过点（1，f(1))的切线斜率值为2。

有了这个斜率值，我们就可以判断出这条曲线在某个区间内是上升的，还是下降的，以及上升或者下降的快慢程度。

首先，如果曲线某点的斜率值是大于零的，就可以确定在这个点的相邻区域，曲线是上升的，函数值是递增的，反之，函数值就是递减的。

我们依旧拿刚才的函数为例，在上图中，过A点的切线斜率值为2，我们就可以知道，至少在A点的相邻区域，这条曲线是上升的，函数值是递增的。

相反，过左侧的B点，切线的斜率值就会是-2，表明至少在B点的相邻区域，这条曲线是下降的，函数值是递减的。

至于这个相邻区域的区间范围如何确定，就必须通过导函数值与0之间的大小关系来确定了。

比如在原点左侧，自变量小于0时，导函数值是小于0的；在原点的右侧，导函数值是大于0的。

把以上信息综合起来就是这样：

也就是说，通过对函数求导，我们可以得到下列信息：

1、过曲线上某点的斜率值，从而可以写出过该点的切线方程；

2、可以通过导函数值大小，判断函数的单调性和单调区间，以及是否存在极值点；

如果导函数比较简单，能直接画出图像，那么依据导函数的图像，就能更容易地判断原函数的单调性、单调区间以及极值点的位置。

比如上例中，导函数的图像就是一条过原点的直线，原点左侧，导函数图像在x轴之下，提示原函数是单调递减的；原点右侧，导函数图像在x轴之上，提示原函数单调递增；原点处，导函数值为0，原函数存在极值。

这个极值点标识出原函数的图像由减转增，函数值好像停顿了一下，所以也称为函数图像的驻点。

3、还可以通过导函数值的绝对值，来判断函数曲线变化的剧烈程度；绝对值越大，切线就越陡峭，提示函数值变化就越剧烈。

4、当然你也可以通过继续对原函数的导函数再次求导，得到原函数的二阶导，记作：

然后根据二阶导的函数值，判断原函数曲线的凹凸性。

比如针对函数：

一阶导函数为

二阶导函数是

这个二阶导函数是个常数函数，是恒大于0的，也就是说原函数曲线切线的斜率一直是递增的，从而判断出原函数曲线是一个中间凹下去、类似洼地的凹函数。

现在问题来了，既然求导能带来如此多的好处，那么如何对一个函数求导呢？

我们下篇短文继续讨论这个问题。

感谢您的阅读！

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