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几何最值问题综述：对于学生而言，刷了无数的题，总结了无数的解题方法，做了无数的笔记，积累了无数的错题，普遍认为初中平面几何问题中，最难是几何最值问题，而几何最值问题往往又与平面几何三大变化（平移变化、轴对称变化、旋转变化）相关。 几何最值理论依据有：①两点之间，线段最短。②点到直线的距离，出线段最短。③三角形三边关系。几何最值所用思想：转化思想 今天介绍逆等线，逆等线相对于阿氏圆和胡不归动点多，那么何为逆等线呢？两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。 题型特点： ①一般有两个动点 ②两条等线段首尾不相连 解题步骤： ①找三角形：找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形) ②确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一条边长度不变，有一个角的大小不变。 ③从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那条不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。 ④问题转化为将军饮马问题求最值。 典型题： 如图在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，AC=10，点D，E在AB，AC边上运动，且AD=CE，则CD+BE最小值为_________________  分析：①双动点: E和D ②未首尾相连的等线段: AD=CE 符合逆等线模型;动点运动过程中，始终有AD=CE，利用AD=CE构造全等 (利用SAS)，从而将要求和的两条线段拼接在一起，转化为两定一动的问题，就是我们熟悉的“将军饮马”问题了。 解：过点C作CF∥AB，使得CF=AC，连接CE,BF，过点B作BH⊥FC，交FC的延长线于点H，如图所示：（简写过程）  易证△ADC≌△CEF（SAS） ∴CD=FE ∴CD+BE=FE+BE 当点F,E,B三点共线时，CD+BE最小 ∴CD+BE最小=FE+BE=FB ∵∠ABC=60° ∴∠FCB=120° ∴∠HCB=60° 易得：CH=4,BH=4√3 ∴BE=√196+48=2V61 CD+BE最小值为2V61 思考：我们可以构造△ADF≌△CEB解决问题吗？ 思考题：（可在评论区打出答案） 思考1：在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别是边AB，CD边上动点，且AE=CF， 则BF+CE最小值为_________  补充：加权逆等线 题型特点： ①一般有两个动点 ②两条等线段首尾不相连，存在倍数关系 典型题：如图，平行四边形ABCD，AB>AD，AD=4，∠ADB=60°，点E，F为对角线BD上的动点， DE=2BF，连接AE，CF，则AE+2CF的最小值为 __________  分析：符合加权逆等线特点。 解：过点D的上方作DH，使得∠HDB=60°，DH=2BC（简写过程如下）  易证：△HDE∽△CBF（SAS） ∴EH=2CF ∴AE+2CF=AE+EH ∴当点A，E，H三点共线时，AE+EH最小 ∴AE+2CF=AE+EH=AH（如图）  过点H作HM⊥AD延长线于点M ∴AE+2CF的最小值=AH=√64+48=4√7 思考题2：（可在评论区打出答案） 如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别为CB，DC上的动点， 且BE=2DF，则DE+2AF的最小值为_________  |
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