微积分初步——复合函数求导的链式法则、导数的四则运算法则

一  简单函数四则运算的求导规则

如果针对多个函数的和、差、乘积和商，存在如下的求导规则：

我们现在要做的，是对课本上提出的上述规则进行简单地证明。

在证明过程中，如果采用符号

表示求导过程，应该比用

更容易简化计算过程，但在中学阶段，课本并没有出现第一种表示方法，为了减少不必要的歧义，我们在推导过程中，还是继续使用定义求极限的运算方法。

1、 多个函数的和与差求导，可以通过导数定义很容易地推导出来，比如针对两函数之和：

两函数的差也可以通过同样的办法证明。

2、 针对两函数的积求导，根据定义，依旧是：

二者乘积的变化量就变成了：

将其代入极限：

当x的变化量趋近于0时，最后一项也趋近0，所以：

不只是两个函数之积符合上述法则，更多个函数的积求导操作，依旧符合上述法则，比如针对三个相乘的函数求导：

3 两函数之商的求导操作，依旧可以根据定义推导出来：

将这个代入上述极限：

在分母中的

从而达成消除这一部分的目的。

至此，函数的加减乘除四则运算的求导法则推导完毕，接下来要解决的是复合函数的求导。

二、针对复合函数，我们采用的是链式求导法则，方法就和剥洋葱一样：先剥外层，再剥第二层，依次类推，一层一层剥下去，直到剥到针对自变量求导为止。

写成公式就是这个样子：

链式法则的本质，如果用导数的定义解释起来更容易理解：

比如上式，如果函数f针对x求导，实际上就是求:

换句话说，我们要这个函数

针对自变量直接求导是做不到的，必须逐级求导才行，上一级只对它的直接下一级负责，所以函数f只能针对变量g求导，函数g只能针对变量h求导，函数h对自变量x求导，写成定义式就是这样：

上式根据逐级负责的原则，按照等级顺序，像一条链子一样将上下级串起来，直到最后找到引发变化的直接原因为止。

这就是被称为链式法则的缘由。

这个结论没问题,但根据定义，g针对h的导数应该是:

由这个极限直接得到g针对h的导数，似乎显得不那么严谨。

事实并非如此！

我们可以这样理解：对于函数而言，我们可以认为当

因为对于大体量的上一级函数而言，自变量△x引起的△h的变化，相对于函数g，也是一个极其微小，无限趋近于0的变化。

当然，如果你愿意采用更严格的数学方法，也可以证明出当△x趋于0时，△h趋于0成立；当△h趋于0时，△g趋于0成立,所以，我们上面的解释，从逻辑结构和最终结果来看，是不会有问题的！

接下来的几篇短文会讨论几个常用到的重要极限：

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