解法分析:可以采取“识图→研图→解图”的教学策略进行研究:
表1呈现了“识图”、“研图”所得到的基本结论和引申结论,指明了问题解决可采取的基本路径。因此在最后的“解图”环节,只需要寻找“合适”的三角形,利用比例线段和勾股定理建立AE和FM间的数量关系即可。 解法1和解法2根据旋转的性质得到一组全等三角形,灵活运用图中的45°角,得到相似三角形,再利用相似三角形的性质列出线段间的比例关系,继而建立函数关系。 ③作平行线构造基本图形建立函数关系 解法3通过过点F作AB的平行线,得到了EB-PF-X型基本图形,根据比例式EM:MF=BE:FP、等腰直角三角形的性质以及勾股定理建立函数关系式。除了过点F作AB的平行线外,也可以尝试过点E作DF的平行线,解题的路径也是类似的。回顾刚才的三种解法,都是借助图7的基本图形展开的.通过巧妙运用45°角,结合背景图形的特征,或发现相似三角形、或添加平行线构造基本图形以达成问题解决的目的。这个基本图形的原型来源于沪教版九年级教材24.5(4)的练习2。教材中练习题通过证明△ABF∽△ECA,得到比例式BF:AC=AB:CE,再利用AB=AC,化为等积式BF·CE=AB2.教材的图形特征与上述问题的图形背景如出一辙,只是上述问题将教材中的图形特殊化了,由等腰三角形变为等腰直角三角形,由于等腰直角三角形图形的特殊性,因此为问题的变式提供了更多的可能性,也有利于从变化的题组中发现其中的不变性,即隐含的基本图形和问题解决的一般方法。
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