聊一聊'数学结构化'

1-6年级思维天天练12011年版课标中，“整体性”一词出现了8次，主要指向数学课程内容，2022年版课标中，“整体性”一词出现了6次，虽然次数减少了，但应用范围更广了，内涵更丰富了。除了2处谈课程内容整体性，其余4处都与核心素养有关。

2022年版课标中“关联”一词共出现了22次，远远超过了2011年版课标里的7次。其与前文提及的两版课标在“整体性”的对照上有着相似性，即2011年版课标着重强调的是课程内容间的关联，而2022年版课标中，“关联”的指向范畴更丰富，比如学科关联、学段关联、板块关联、现实关联、目标关联、思维关联等。这进一步说明了整体性、关联性是教育教学活动的基本特征。2022年版课标中首次出现“一致性”，且多达18处。

与整体性、一致性、阶段性等紧密联系的是结构化。“结构化”一词也是首次被写进义务教育数学课程标准，共有6处，重点是谈课程内容，比如，“课程内容的组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”“以结构化数学知识主题为载体”“帮助学生建立能体现学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系”“整体把握结构化课程内容体系、单元整体教学、跨学科主题学习、基于核心素养的学业质量标准与考试评价等关键问题专题研修”等。

美国认知心理学家布鲁纳指出：“掌握事物的结构，就是允许以许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它。简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”小学数学结构化教学，是指教师站在系统的高度，从整体的角度审视数学学习的发生、发展过程，从而科学地优化数学教学活动，推动学生在已有数学知识经验的基础上，经历个性化的认知转化，培养结构化思维，形成“带得走”的学习方法和能力。

22版课标明确指出：“课程内容组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。”小学数学结构化学习是基于小学数学学科的整体系统性、结构关联性，引导学生从结构化数学知识本身出发，通过结构化学习活动，达到提高学生数学学科核心素养的要求。从建构数学基本思想与方法的角度，对数学知识进行合理统整，打破孤立的“一节课”局限，将教学的起点定在“一类 、一组 、一系列课”的组织与设计上，更能帮助学生理解知识的发生、发展过程，凸显整体关联与结构发展。 

怎样让学生对数有系统的认识呢？为了实现知识结构化，对照简单的结构图（图3），对数的知识进行了个性化的补充，挖掘各个零散要素间的逻辑关系和内在关联，并用大括号和箭头连接，形成了数的关系结构图（图4）。如此，笔者通过对零散要素进行结构化呈现，使碎片化的知识成为整体，为学生知识结构的动态建构奠定了基础。

 

东北师范大学马云鹏教授指出，课程内容的结构化并通过主题整合的方式呈现，从“碎片式”走向“结构化”，体现了学习内容的整体性。比如，在“数与代数”领域，小学三个学段的主题由原来的“数的认识”“数的运算”“常见的量”“探索规律”“式与方程”“正比例、反比例”六个整合为“数与运算”和“数量关系”两个。这不只是形式上的变化，更是从学科本质和学生学习视角对相关内容的统整，更好地体现了学科内容的本质特征和学生学习的需要。

在小学阶段其中数与代数、图形与几何、统计与概率三个领域下整合为七个主题：数与运算，数量关系，图形的认识与测量，图形的位置与运动，数据分类，数据的收集、整理与表达，随机现象发生的可能性。综合与实践领域以跨学科主题学习为主。内容结构化体现整体性和一致性的特征，具有相同的学科本质与核心概念。例如，数与运算主题，将数与运算作为一个整体，体现两者之间的密切关联，主要的核心概念是“计数单位及其累加”。数是数量的抽象，小学阶段主要学习整数、分数和小数，整数和小数的数位，分数的分数单位，都看作计数单位。数的认识包含数的抽象表达、数的大小比较等，自然数从小到大就是一个累加的过程，从1开始每增加一个后继（+1）就得到一个新的数，其中蕴含了加的运算。数的运算包括整数、小数、分数运算，运算的重点是理解算理、掌握算法，对算理的理解最终都要追溯到数的意义，都可以理解为计数单位的累加。吴正宪老师提出“数的认识”“数的运算”都是要从计数单位的角度来认识数的概念，又通过乘法的交换结合律推导出最终的结果是：是计数单位的个数。

数学学科知识结构是通过数学概念和命题的关联所形成的结构,是属于数学学科的,是对数量关系和空间形式研究的成果和智慧结晶,是一种普遍性的客观存在,它不依个人的意志而改变。将关联度较高的内容合并成一个主题，使得整个课程内容的结构更清晰。教师引导学生站在“高处”去思考和理解，向前看，向左右看，思考：回忆曾经学过的旧知识，有没有哪些与我们要学习的新知识有关联？它们之间有什么样的紧密联系？这些旧知识对学习新知识有什么帮助？如此，在学生头脑中就形成了完整的、结构化的知识体系构建图。

比如，图形的认识与测量主题，核心概念是维度、图形的特征、度量单位等。人们看到的物体都是三维的，三维图形更直观。从立体图形中可以看到二维的面，从平面图形中可以看到一维的线。从抽象的几何图形要素看，点、线、面、体的特征又是从简单到复杂。认识图形的特征就是认识图形的点、线、面及其关系，如平行四边形有4条边、4个角，相对的边平行且相等，认识图形从这个意义上具有一致性。图形的测量是确定合适的度量单位，再寻找特定图形有多少个度量单位，计算图形的长度、面积、体积都是探索如何确定一类图形中包含多少个度量单位。问题的复杂程度不同，具体的方法可能也不同，但学科本质是一致的。如，在教学“体积单位”一课时，在导入环节中，先着重复习长度、面积的内涵，长度单位和面积单位进率等知识，再迁移感受和体验“体积”及“体积单位”的内涵，在区别对比中，明白“长度”，“面积”，“体积”的不同的内涵，长度是研究线段的长短，面积是研究面的大小，体积是研究所占空间的大小。纵向引导复习相邻的长度单位、面积单位之间的进率后，学生能大胆猜测两个相邻体积单位之间的进率，横向引导复习其他计量单位（时间单位以及质量单位等），通过横向和纵向的学习，学生体会到“计量”的本质，任何量均有它们自己的计量单位，有效地构建了“量与计量”完整的知识结构。

数学认知结构来源于数学知识结构,是学生个体对数量关系和空间形式的智绩晶,它是属于学生个体的,存在于学生个体的头脑中,是个性化的主观存在,是一个复杂的多要素系统,个体之间的认知结构和水平是有差异的。若要真正实现有效的结构化教学，需要基于学生的认知基础顺学而教，真正的结构化不是由教师教给学生的，而是让学生真正形成自身的认知结构并实现生长。内容结构化和教学结构化，最终要落实到学生的学，内容结构化和教学结构化为学生的认知和思维结构化提供了很好的支持。

我们知道加法运算是伴随着自然数的产生而应运而生，那么有了加法，一个一个往前数，也可以看成一个一个单位的累加，就有了减法是加法的逆运算。有了加法，又有了乘法，乘法是加法的简便运算，乘法也是在做加法，除法就是在做减法，是减法的简便运算。除法还是乘法的逆运算。这四种运算中，核心是加法，因为有了加法，我们推演出了减法，乘法，除法。所以以加法求和为核心的加减乘除关系结构就这样架构出来。

如，22年版中有一个重要的提法：感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识，也就是“运算一致性”。加减法运算的一致性体现为：相同计数单位上的数字相加减，计数单位不变。乘除法运算的一致性体现为：计数单位与计数单位相乘除，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘除。其中关于加减法的描述很好理解，无论是整数、小数还是分数的加减法，老师们在教学时，都是从计数单位个数运算的角度来引导学生理解算理并掌握算法的。以小数乘法0.3×0.8＝0.24为例，算理为（3×0.1）×（8×0.1）＝（3×8）×（0.1×0.1）＝0.24，即计数单位0.1和0.1相乘得到新的计数单位0.01，计数单位的个数和个数相乘得到新的个数24，合起来就是24个0.01。整数乘法（如300×20）和分数乘法（如2/3×3/5），算理均可如此表达。

数学知识的整体建构不能仅停留在思维方式方法的简单使用上，而是要凸显出学生的自觉、自发和自为，培养学生自主建构的能力。当然，这样的佳境并非一朝一夕可以达成，学生在一节课中开辟的“结构化”视角只是一个美好的开始，教师还需要在未来的教学中帮助学生进一步积淀和生长。