数学、音乐和哲学

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通过指向对象的变化来定义一个对象的演示方式与拓扑理论（topos theory）的核心理念密切相关。在拓扑理论中，整个箭头关系网络比对象本身更为重要。数学领域与音乐必需性之间存在的共性绝非偶然，我们将会看到这一点。

就逻辑以及其他领域而言，我认为数学与音乐之间不存在直接的联系，所有试图将它们联系起来的尝试都必须通过哲学来进行。任何试图直接将数学与音乐联系起来的努力，只能在我所谓的工程问题范畴内进行，即作为数学对音乐的应用。这种基于应用性的关系与数学思维的内容完全无关，它仅使用那些可以被公式化的结果，换言之，就是数学理性形成纯粹计算等价，即在等价符号('=')两侧的典型情况。

不幸的是，当今最流行的做法是将数学简化为一组可应用于音乐或转化为音乐的公式。Xenakis 就是通过这种方式声名鹊起。

我的主张是，任何关于音乐与数学之间关系的假设都必须通过哲学来探讨，而不是仅仅依赖于一系列计算。如果我们探讨的是数学与音乐之间的同步思考，而不是从属关系或简单的应用，那么我们就必须借助哲学来建立一个能够包容这种思考的概念空间。这是因为音乐思考是艺术性质的，而不是科学性质的。因此，例如数学与物理学之间的直接联系，在数学与音乐的关系中并没有相应的对应。在前者的情况下，这种关系是成立的，前提是我们假设数学具有本体论（ontological）特性（因为，对存在本身（l'etre en tant qu'etre）有意义的一切，也自然而然地对任何存在的事物（etant）有意义）。但说的不好听一点，音乐即不是科学，音乐逻辑也更非声学逻辑……

音乐中的逻辑

在探讨了一些与音乐相关的逻辑问题之后，让我们尝试进行更全面的阐述，提出数学家们所称的“结果汇编”。 在我们所选的音乐领域中，我建议用逻辑来理解所有在形式上决定存在可能性的条件。 并非所有决定存在的条件都是逻辑性的；逻辑性的条件是那些在形式上引导存在可能性的条件。 举一个简单的例子，所谓的假言推理（modus ponens）逻辑规则（如果 且若 A，则 B）考虑了在假设 A 和 的情况下确认 B，而不考虑 A 是否真实存在或者蕴含关系 是否持续存在。 因此，逻辑并不关心真实存在的事物。它只关注可能性的一致性规定，而不考虑实际的实现。 正如莱布尼茨（Leibniz）所说，逻辑建立了可能世界的配置，但它将确定真实存在的唯一世界的任务委托给了上帝。 在这个界限下，我建议我们在音乐中区分三种逻辑程序：

·音乐的创作；

·音乐作品的辩证法；

·音乐作品的特定策略。

音乐与作品（MUSIC AND WORK）

在音乐逻辑中，一个核心是音乐的结构层次与作品的具体、独特层次之间的区别。例如，虽然可能存在调性逻辑，但没有任何具体作品能完全展现它。 只有和声学论文能够对其进行阐释。从音乐作品的角度来看——这也是我们最感兴趣的方面——音乐只是在表面上受到这种逻辑规则的影响（当然，这是指在调性音乐中），而并未完全受制于其法则。

一方面，作品内在地具有“必须表达”的需求[devoirdire]，这实际上是一种涉及其作为音乐存在体[etant]的存在的规定——即维护其作为音乐实体的统一性的必要性——这便成就了一部音乐作品。与此同时，作品还承担了一种战略性的规定。 因此，作品的一般推理过程——或其“必须表达”的一致性——需要与其战略——或“想要表达”的坚持[vouloir-dire]——区分开来，后者是一个独特的过程。 在接下来的讨论中，我们将这第一个元素（一般推理过程或其必须表达的一致性）称为piece of music，而将第二个元素（战略及其独特推理过程，或想要表达的坚持）称为musical work。piece of music是opus在某种情境中确立自身存在的层面，而musical work则是opus采取音乐项目或音乐主题形态的层面。 这里有三个行动程序（proceedings）：

·作曲（Writing）在形式上影响音乐可能世界的一致性：它代表了音乐作为一个整体宇宙的逻辑功法。

·辩证法（Dialectic）在形式上影响一部作品的一致性和其统一性的可能性：它是音乐作品的逻辑行动程序。

·战略（Strategy）是指作为主观独特的音乐作品的逻辑行动程序。它的影响从形式上关注作品的坚持，即在作品层面上维持音乐项目的可能性。

我们现在将分别阐明这些行动程序，并揭示它们各自的逻辑特征。

写作

音乐写作可以通过以下两种思考方式视作逻辑维度的主题：

写作与声音材料：拓扑理论

首先，我们探讨音乐写作是如何考虑声音这一维度的。通过拓扑理论（topos theory），我们可以在逻辑上对这个问题进行阐明。在数学的范畴论（也就是拓扑理论）中，逻辑是范畴宇宙的逻辑。逻辑运算的集合可以描述为范畴宇宙中所有对象与子对象分类器之间的关系。宇宙中任何逻辑连接的有效性都由这个宇宙中的一个特定且明确的点所决定。因此，根据阿兰·巴迪欧（Alain Badiou）对数学范畴理论的哲学解释，我们可以说，逻辑运算相当于宇宙的中心化。

出于我在这里不会展开的原因，这个函数可以在哲学上被命名为超越概念，遵循阿兰·巴迪欧最初在他对数学拓扑理论的哲学解释中引入的非常精确的含义。

这种新的逻辑方法从哲学角度出发，使我们能够区分情境中的存在[being]或being-there[etre-Ia]与显现[appearing]。这对于阐释音乐逻辑的问题是有帮助的，原因如下：

1.乐谱与聆听之间的关系可以理解为音乐的being-there与其对感官的显现之间的关系。

2.音乐中的逻辑中心化可以视为对写作的中心化：音乐写作关注的是创造的声音的音乐维度。通过区分音乐中哪些是存在的，哪些是不存在的，写作确定了显现的有效性。它还在音乐情境中验证了任何声音显现的真实存在；如果没有写作本身提供的实效性，它仅仅会是幻觉。谁在听过一段音乐后没有试图将他所听到的与乐谱进行比较？这样做表明你熟悉写作的超验使用，即使这种使用是直观的，而不是作为一个独立的分析对象。从这个角度看，音乐写作考虑了从声音层次到音乐层次的转变，并通过声音情境构建了音乐的逻辑。

写作与倾听：模型论

我要探讨的第二点是：音乐写作不仅与感知和听觉有关，更具体地，它是如何与音乐倾听相联系的？

将写作与音乐倾听的特殊性联系起来意味着一个特定的逻辑维度，可以这样解释：在音乐中，写作负责计算和展示，而倾听恰恰从那些无法根据严格的感知规则来表达和排序的事物开始。作品中的特殊时刻[moment lavori]，即倾听展开的时刻，是基于这样一个逻辑条件的：一些已经展示的事物实际上无法被显示出来，关于真实存在的事物的讨论，即便无法按照传统的展示模式呈现，仍然是有意义的。数学为我们提供了许多这样的例子。

尽管人们可能会诱惑批评所谓的展示和证明之间的充分性概念，在音乐中，感知范畴与哲学上的感知概念非常接近。

音乐倾听，它涉及将感性方面与理智方面联系起来的思考，当感性从单纯的感知中分离出来，转变为一个新的可理解原则，这个原则不再依赖于展示，而是接受无法表示的无限音乐合理性。

那么，写作如何考虑到这种新的感性模式？更具体地说，音乐写作如何影响这种倾听的可能性，以及它在作品中的持续运作？

这个问题引入了一个逻辑维度，它可以与20世纪数学逻辑中的模型论（model theory）联系起来，这是一个分析理性与计算关联的理论。

逻辑的数学化，以及由此带来的文字化，自19世纪末起让字母与其解释之间的分裂；换言之，有一堵墙将纯粹的句法方案与语义方案分隔开来。在模型论（model theory）中，这个屏障并未消失，因为其对对象的语义解释不涉及逻辑连接符，后者仅局限于句法领域。显然，逻辑一方面在水平维度中发展，即命题演算，另一方面，在句法推理和语义解释之间的垂直关系中发展，这就是模型论。

这一事实使我们能够描述音乐逻辑关注的是什么：写作与音乐感知之间的关系，类似于句法与语义之间的联系。从这个角度来看，音乐逻辑是一门研究写作如何在声音连续性中呈现出辩证性的科学。

通过将数学中的理论/模型二元性的解释投射到音乐中的乐谱/听觉二元性上，我们可以通过提出以下论点来“解释”我们这个世纪的不同逻辑/数学定理[Ars Musica (Bruxelles - 2000): Qu 'esperer des logiques musicales mises en reuvre au XXe siecle?]：

1.音乐倾听是根据一些无法被直接写下的决定因素进行的。[见哥德尔的著名定理]

       哥德尔的不完备性定理。库尔特·哥德尔是20世纪初的数学家和逻辑学家，他的不完备性定理是逻辑学和数学基础的里程碑。哥德尔证明了在任何足够强大的公理系统中，都存在这样的命题：这些命题在该系统内既不能被证明也不能被证伪。这意味着任何尝试完全基于一套固定规则或公理来形成所有数学真理的努力都是注定失败的。类比到音乐中，这可能意味着乐谱（一个固定的、书面的系统）不能完全捕捉到音乐体验的所有方面，总有一些元素无法被完全写下或解释。

2.任何乐谱至少与两种截然不同的倾听方式相容。[洛维恩-斯科勒姆定理]

        这是模型论中的一个定理，由阿尔弗雷德·塔斯基、莫西斯·斯科勒姆和托尔斯滕·洛维恩独立发现。该定理表明，如果一个一阶逻辑理论在一个无限模型中是可满足的，那么它在任何大于或等于该模型基数的大小的无限多个不同大小的模型中也是可满足的。在音乐的语境中，这可以类比为任何一部乐谱可以以多种不同的方式进行解释和体验，每种解释都是有效的，而且没有唯一的“正确”解释。

3.任何一致的音乐写作都自然而然地保证了可能倾听的存在。

        参见亨金定理。这第三个论点倾向于验证我们之前提到的串行陈述（如：“感知必须遵循书写”），一旦注意到以下内容：如果感知必须遵循（串行主义），那么“真实”模型不会遵循逻辑数学理论（模型论），因为后者的推导在模型中没有语义翻译；模型的一致性和理论的连贯性并不同构。这意味着音乐听觉并非通过跟随书写来运作（听觉不是对书面结构的感知），而是根据自身规则展开。

辩证法

我要探讨的第二个问题是音乐辩证法。如前所述，音乐可以根据与亚里士多德逻辑相反的辩证原则进行组织。这些原则通过“如果……那么……”这样的逻辑推理模式来构建。这一原则已在强制否定（如变种3所示：“如果A，那么非A”）和被迫中间的两个公理中得到确立。

四个辩证问题

在音乐中，当我们考虑到不同作曲风格的严格逻辑基础时，所有这些推理都显得更加系统化。一旦我们注意到所有音乐历史情境都对其包含的作品设定了特定的辩证问题，音乐的逻辑即辩证法便变得明显。

1.在巴洛克赋格曲的情况下，辩证问题是它的单一主题的分裂[scission]（分为对位主题和回应：参见变种2）。

2.在古典奏鸣曲形式的情况下，辩证问题是两个展开的对立力量的解决。

3.在瓦格纳的浪漫歌剧的情况下，辩证问题是组成歌剧的多个实体之间的过渡。

4.对于布列兹的序列作品，辩证问题是顺序的逆转[renversement]。

相同的辩证法

我们再次回到我们之前的讨论：任何辩证法的核心特征在于，音乐变体（广义上的）视为主要统一性的一种变化。我们可能会倾向于将其与经典音乐辩证法联系起来，并可能认为，没有理由将音乐辩证法仅限于这种经典辩证法（就像将数学研究局限于排除中间的双值经典逻辑一样）。

我已经指出，存在一个可能的替代方案，这涉及到我作为作曲家的工作，我称之为识别变体[variation-reconnaissance]。让我们尝试简要描述其实现的概念空间。

这个想法是要构建一种与经典辩证法相反的音乐辩证法，它从其他到相同，一种对通用性、普通人、匿名性的征服。他者将是一个起点，第一个证据，以便让令人惊讶和珍贵的东西依附于相同的普遍性，而非特殊性的差异化。

当然，正如已经指出的，这种辩证法不能是一种倒退的改变，即将推断变为推理。它必须是一种构建其自身独特操作的辩证法，绝不仅仅是经典操作的简单逆转。 我建议我们采用克尔凯郭尔的方法，尤其是以下三种操作：重述[reprise]、识别和重复。 重述（即向前的回归）是第二次出现实际上成为了第一次出现，而识别（对未知的）是第一次出现实际上成为了第二次出现。

重复是一种反思，它通过如何[comment]重复什么[ce que]，通过陈述来验证说法，通过行动[faire]来封印言语[dire]......。

它的对立面将是黑格尔式的再加倍，当极化显示出一个初级统一体的两个分裂时（再加倍使同一事物的两个方面具体化）。

这三个形式操作关注了“二”的两个不同方面：重述和识别关注的是一个顺序性的“二”（因为它们确立了一个顺序，并决定了什么是首要的，什么不是），而重复及其在黑格尔那里的对应物重叠则关注的是一个基数性的“二”（这意味着它与数量相关，并决定2是否可以等同于1 + 1）。

我相信，这些操作可以为古典音乐的发展提供一个逻辑上的替代方法。实际上，它们已经存在于当代音乐中（例如，可以参考Elliot Carter或Helmut Lachenman的作品）。

因此，我们的任务就是去意识到已经做过的事情，为已有的原则投射新的光芒，就像20世纪初关于选择公理（axiom of choice）的情况一样，许多上个世纪的数学家已经隐含地使用了这一公理。

策略

接下来，我们将探讨我第三个主要的逻辑关注点，即针对个别作品的特定策略，这使我们能够从逻辑的角度区分出两个基本规则。

1.每个作品的策略必须在一个特定的推理框架内进行考虑，而不应仅仅是对其所继承的更广泛体系的选择性偏离。

2.作品必须有一个结局。它必须以某种方式结束，而不应留下任何自我终结的疑虑。 让我们简要分析这两个要点。

推理系统

通过为作品规定一个系统性的策略，我们暗示它必须坚定不移甚至无情地追求自己的音乐项，不受可能遭遇的各种声音情境的影响。要成为一个真正的音乐主体，作品不能仅仅是记录一个无后果的瞬态偏移。它也不能满足于仅仅在音乐系统中放置一些局部偏离，这样的系统构成了它的全局外壳。这样的作品暗示了一种歇斯底里和单方面反叛的主观性。

挑战是不同的：作品应该创造一种表达，一种基于自身力量的“需要说出来”的需求。它应该创造一种持续的内生应力[intension]，这种应力源于系统性的偏见，而不仅仅是对调性或系列系统标准化路径的自发反应，甚至不仅是对同一系统性辩证法的反应。 我在此并不是说这种系统性特征必须形式化，没有迹象表明它能取代已知的音乐系统。与可以被编码的系统相比，它更关注坚持的主观品质。

作品的这种特有系统性特征可以视为其个人的推理模式，就像一个独特的数学理论添加了自己的推理规则一样。

举个基本例子，顺序关系指出，如果 且 ，则 ，这是推断A和B辨衡[identity]的新方式。这种策略必须是系统性的，这反转了布列兹的“系统与观念”的问题，因为作品的原则不再是面对并偏离音乐系统；相反，它是叠加在音乐系统之上的。 作为我系统性呈现的一个激进例子，我建议使用康托尔数学思想中的对角线类别，这与布列兹的倾斜概念无关。我在其他地方[Cf. La singularite Schoenberg, editions Ircam-L'Harmattan (Paris, 1997).]已经描述过这种方法，所以在这里不再赘述。

结束时刻

如果这种坚持引导着作品在其无限的情境中的欲望，那么正是结束使作品面临着得出结论的必要性。作品终结的那一刻，当作品将自己的结果交给其实施的后果，在与其他作品的对话中，提出了许多重要的逻辑问题。为了回答这些问题，让我们借助数学中的力迫法。在这方面，勋伯格的手法提供了极大的启发，特别是在延展他作品的过程中。

两者的关联

因此，系统和结论从逻辑角度上是相连的：中断只在涉及策略时才会介入（在混乱的事件集合中这是不可能的）。

作品的策略涉及到作品内有限与无限之间的关系。这种关系是逻辑方法的产物，正如我们在这里所研究的那样，它是基于一个考虑可能性的条件的方案的分析。如果作品真的是一个作品，不仅必须说出来，而且想要说出来（即如果作品[work]是一个真实的音乐主体，不仅仅是由结构化情境激活的音乐作品），那么它的“想要说出来”必须是一个独特的坚持过程的一部分，并且必须达到决定结束的点。一个独特的“想要说出来”——这与普遍的“需要说出来”不同——因此产生了一种自身相互关联的必要性，可以视为主体逻辑的一个具体例子，在其他领域（如哲学、精神分析等）已经被讨论过。这种逻辑是主体自由提交给自己的形式推理方案，只要音乐作品的自由意味着自我决定的自由（克尔凯郭尔）或对自己的行为负责（尼采）。

结论

如果我们将逻辑视为一种条件和推理的形式方案，那么音乐中的逻辑规定就会采取三重命令的形式，通过在三个层面的投射：音乐世界的层面，以及将作品视为piece of music 或musical work的层面：

1.音乐世界是一个思想宇宙，这意味着它不仅能识别音乐存在体[l'etre musical]——通过确定音乐中的事物[etants]——而且能控制显现[les apparances]，欣赏它们的存在，只要音乐写作能定义一个中心领域（乐谱）。正是这个乐谱，既位于音乐世界的中心，也能为音乐本身提供一个中心。

2.musical piece将被赋予统一性，一旦特定的辩证法引入，涉及特定的音乐情境（即音乐宇宙的非常特殊状态）在其中被置入。这种辩证法在形式上控制了作品所融入的一般推理和后果的总体方案。

3.musical work将成为一个主观过程，而不是纯粹的主观化行为，只要它涉及到一个策略，即一种能力，让与之相同的音乐作品中坚持一个由一些特殊的推理原则构建的独特的“想要说出来”的结构，使其作为一个音乐项目存在。 更简洁地说：

·写作提供了音乐世界的逻辑一致性。

        更准确地说：我们关注的音乐世界，正如我们必须牢记的那样，只是许多真实或虚拟音乐世界中的一个（例如口头传统音乐、流行音乐或即兴音乐等不同世界）。

·musical pieces 的逻辑一致性与历史上确立的音乐辩证法类型有关。

·musical work的坚持逻辑采取了一种特定的音乐策略的形式。

换言之：在音乐中，逻辑作为世界写作的一致性、作品的辩证一致性以及每个作品中的战略坚持而发挥作用。