曲线系方法——二次曲线交点问题

曲线系方法是圆锥曲线中很好用的方法. 在高中数学中，碍于线性代数知识的不完善，我们难以运用曲线系方法. 为了解决这个问题，我们在此研究曲线系方法在高中圆锥曲线中的一类特殊问题的应用.

首先是大家所熟知的圆系方法的例题：

• 已知圆 与圆 (1)求两圆公共弦所在直线的方程; (2)求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程.

  (1) (2) 设方程 其圆心 圆心在 上，那么 解得 所求方程

为什么这么做呢？第一小题，我们要求两圆交点连成的直线，也就是求两个点同时满足的直线方程. 根据两个点都在两个圆上，将两个圆的方程相减，自然就得到了这样的结果. 第二小题，我们同样的是考虑构造两个交点同时满足的表达式，这个表达式本身是圆的方程，组成过公共交点的圆系.

总的来说，我们使用曲线系方法，可以较为轻松地解决这一类二次曲线交点问题，如果我们讨论的性质是两条曲线的交点满足的性质（方程等等），那我们就可以尝试去使用构造的方法，解决这样的问题.

1. 斜率为 的直线 交 于 两点并过其上焦点 ，点 满足 的重心是原点， 关于原点对称，证明 (1) 在 上， (2) 四点共圆.

   (1) 直接联立，不难得到

   (2) 首先 因而 满足方程 和椭圆方程 联立配凑， 得到四点满足方程 即 显然这就是该四边形的外接圆方程.

   如果我们把这一题的双直线 视为一条二次曲线，该二次曲线的方程就可以如同上述方法构造. 我们需要通过椭圆与双直线，构造一个二次项系数相等的方程，也就是圆的方程，需要让他们的二次项系数相等. 这里可以假设 的形式，去对比二次项系数得到结果.

2. 过 作 的两条切线交 于 求直线 的方程.

   首先，切线方程容易求得

   考虑到 都满足方程 联立得 显然 不满足 约去因式得到 满足方程 再考虑满足的方程 即知 满足方程 即 .

   相对而言，抛物线的点满足的代数关系比椭圆更简单，所以我们可以通过直接和抛物线方程联立消元，去得到最终的结果. 在这里，我们考虑的是双直线 和二次曲线的交点. 但由于这样的交点是   三个点，其中 还是重根. 为了消除 的影响，我们应当考虑分解为只有 满足的因式项，从而得到 满足的方程，再得到直线的方程.

3. (同解方程/圆系方程) 的左右焦点为 过 且斜率为 的直线交 于 求 的外接圆方程.

   满足方程 先凑出 满足的圆方程 即 过 的圆系方程为 代入 即可得到 整理即得外接圆方程

   这里我们将会看到，我们已知的是直线方程和双曲线方程. 如果仅仅构造二者的线性组合式的话，二次项系数比例永远不会改变，是无法得出圆方程的. 因此我们可以考虑将直线方程平方，也就是 这个方程本身肯定蕴含了直线 然后，我们再以此构造 满足的圆方程，最后再去构造这样的圆系方程.

4. 的一条切线与两条渐近线分别交于 为左右焦点，证明这四点共圆.

   考虑切线方程 由于我们要配凑的圆过 圆心在 轴上，因此构造的方程不能有 的一次项. 和上一题一样，为配凑二次项系数得到平方项，我们把 移项到对面再平方，就化为 又考虑到 在渐近线上，有 凑出过 且圆心在 轴上的圆方程，即 我们需要  也就是 得到圆方程 验证两个焦点在该圆上即可.

   这题同样是只有直线和双曲线方程，要配凑二次项又需要平方，又因为所构造的圆的特性还不能有 的一次项，构造路径其实是唯一的.

5. (2020全国I,20) 的左右顶点为 在动直线 上， 分别交 于 证明 过定点.

   设 不难得到 同时满足方程 而椭圆方程 联立得到 不在 轴上，不满足 直接约去 就得到   这就是 都满足的方程，也就是直线 的方程，显然有 过 注：为便于计算，一开始可以直接设

   同样的，我们把 双直线和椭圆联立，得到的是四点同时满足的方程，为了消去 影响，我们需要约去 满足的因式，而待定系数法得到的这个二次曲线系中的满足要求的只有 双直线，自然有 这个因式. 所以，我们可以把不含 的因式用椭圆方程转化掉.