微分 - 罗尔中值定理

1 费马定理

设函数 在点 的某个邻域 内有定义且在点 处可导 , 对任意 , 如果恒有

或者

那么

证明 :

已知 , 恒有 .

对于 , 且 ;

若 , 当 , 即 从右侧趋近 时 ,

若 , 当 , 即 从左侧趋近 时 ,

函数 在在点 处的右导数为

函数 在在点 处的左导数为

已知函数 在点 处可导 .

由

函数 在 处可导的充要条件是函数 在 处的左右导数存在且相等 , 即

可得

所以

当   , 若恒有 时 , 同理如上过程可证得

2 罗尔中值定理

如果函数 满足以下3个条件 :

1. 在闭区间 上连续 ;
2. 在开区间 上可导 ;
3. 区间端点的函数值相等, 即 ;

那么在开区间 内至少有一点 , 使得函数 在点 处的导数必为 , 即

同时导数为 的点称为函数的驻点 .

证明 :

首先已知函数 在闭区间 上连续 .

由

函数连续性的最大值和最小值定理 : 若函数 在闭区间上连续 ，则该函数在该闭区间上必有界 ，且有最大值和最小值 ．

可知函数 必有最大值和最小值 , 设最大值为 M, 最小值为 m :

如果 ;

此时函数 在闭区间 是直线 , 于是 , 所以区间内任取一点 都会使 .

如果 ;

由于区间端点的函数值相等, . 所以最大值和最小值不可能同时在端点处 .

如果最大值不在区间端点处 , 即 和 ,

则 内至少有一点 使得

等同于恒有

由费马定理可得

 如果最小值不在区间端点处 , 即 和 ,

则 内至少有一点 使得

恒有

由费马定理可得

如果最大值和最小值都不在区间端点处 , 由费马定理可知区间内至少有两个点处的导数为 .

2.1 罗尔中值定理的意义

1. 如果函数图像在区间上是连续和光滑的 , 且端点的纵坐标相等, 则函数图像上至少有一条水平切线 ;
2. 如果函数满足罗尔定理的三个条件, 则定理的结论必成立 ;
3. 如果函数不完全满足罗尔定理的三个条件, 则定理的结论可能成立 , 也可能不成立 .