【原】高等数学在高中数学中的应用

微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔 (Rolle) 定理、拉格朗日 (Larange) 中值定理

和柯西 (Cauchy) 中值定理.

本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性, 我将讲解其一般证明方法, 如果大家

在考试时使用了, 则需要先给出证明.

柯西中值定理及其证明柯西中值定理:

若 f(x) 与 g(x) 在 (a,b) 上可导, 且 g(x) ≠ 0, 则在 (a,b) 内至少存在一点 ξ, 使f(b) - 

大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例: 当 g(x) = x 的时候, 即为拉格朗日中值

定理. 其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题, 这里会顺便引人罗尔定理及其证明, 并利用罗尔

定理来证明柯西中值定理.

罗尔定理: 设函数在闭区间 [a,b] 上连续, 在开区间 (a,b) 上可导, 而且在两端点处函数 f(x) 的值相等

(f(a) = f(b)), 那么在开区间 (a,b) 上至少有一点 c, 使得 f(x) 在这点的导数等于零  f′ (c) = 0 .

证明: 设 M 和 m 分别是 f(x) 在区间 [a,b] 上的最大值和最小值. 由于 f(x) 在 [a,b] 上是连续的,

∴ f(x) 的最大值和最小值是存在的.

如果等式 M = m = f(a) 成立, 那么对于一切 x ∈ [a,b] 都有 f′ (x) = 0.

如果 M = f(a) 和 m = f(a) 不能同时成立, 那么 M 和 m 这两个数中间至少有一个不等于数 f(a).

为了确切起见, 设 M 是这样的数. 于是, 在开区间 (a,b) 的某点 c, 函数 f(x) 达到闭区间 [a,b] 上的最大值,

因而在这个点 f(x) 同时有局部极大值. 因为在点 c 处的导数 f′ (c) 存在且等于零.m ≠ f(a) 的情况可以进

行类似的讨论.

下面证明柯西中值定理.

证明: 引人函数 F(x) = [g(b) - g(a)]·f(x) - [ f(b) - f(a)]g(x).

这个函数在 [a,b] 上显然是连续的, 而且在开区间 (a,b) 上有导数. 此外,F(a) = F(b). 因此根据罗尔定理

可以找到这样的点 c ∈ (a,b), 使得,F′ (c) = 0, 即

[g(b) - g(a)]f′ (c) = [ f(b) - f(a)] ⋅ g′ (c).

(1) 显然 f′ (c) ≠ 0, 否则的话, 由于 f(b) - f(a) ≠ 0, 就应该有 g′ (c) = 0, 但是根据已知条件 f′ (c) 和 g′ (c)

不同时等于零, 因此,[ f(b) - f(a)]f′ (c) ≠ 0, 用它除等式 (1) 的右边, 即得所证