初中数学七年级平行线中的四大经典模型

初中七年级数学

平行线中的

四大经典模型

【题型梳理】

【模型1“猪蹄”型（含锯齿型）】

【模型2“铅笔”型】

【模型3“鸡翅”型】

【模型4“骨折”型】

【模型1“猪蹄”型（含锯齿型）】

模型二“猪蹄”模型（M)模型）

     

  点P在EF左侧，在AB、CD内部           “猪蹄”模型

结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP ∠CFP；

结论2:若∠P=∠AEP ∠CFP,则AB∥CD

1.如图，AB∥CD,EF平分∠BED, ∠DEF ∠D=66, ∠B-∠D=28°,则∠BED=     .    

2.如图，已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, ∠BAD=80°, ∠BCD=n°,则∠BED的度数为        。（用含n的式子表示）

3.已知直线，1₁∥1₂ ,A是1₁上的一点，B是1₂上的一点，直线l₃和直线1₁, 1₂交于C和D,直线CD上有一点P.    

（1)如果P点在C,D之间运动时，问∠PAC, ∠APB, ∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．

（2)若点P在C,D两点的外侧运动时（P点与C,D不重合），试探索∠PAC, ∠APB, ∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）

4.已知直线AB∥CD,EF是截线，点M在直线AB、CD之间．

（1)如图1,连接GM,HM.求证：∠M=∠AGM ∠CHM;

（2)如图2,在∠GHC的角平分线上取两点M、Q,使得∠AGM=∠HGQ.试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由。

5.如图，AB//CD,点E在直线AB,CD内部，且AE⊥CE.

（1)如图1,连接AC,若AE平分∠BAC,求证：CE平分∠ACD;    

（2)如图2,点M在线段AE上，

    ①若∠MCE=∠ECD,当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；

    ②若∠MCE=1/n∠ECD(n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由。

6.

（1)如图1,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE,求证：∠BFE=∠FEC；

（2)如图2,已知AB∥CD, ∠EAF=1/4∠EAB, ∠ECF=1/4∠ECD,

    求证：∠AFC=3/4∠AEC.

数学陈老师:

7.如图1,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°;

（1)若∠E=60°,则∠F=         ;

（2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；

（3)如图2,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数．

8.

问题情境：

如图1,已知AB∥CD,∠APC=108°.求∠PAB ∠PCD的度数。

经过思考，小敏的思路是：

如图2,过P作PE∥AB,根据平行线有关性质，

可得∠PAB ∠PCD=360⁰-∠APC=252°.    

问题迁移：

如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动，∠ADP=∠a,∠BCP=∠β.

（1)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠a、∠β之间有何数量关系？请说明理由．

（2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系。

（3)问题拓展：如图4,MA₁//NA_n ,A₁-B₁-A₂- … -B_n-1-A_n是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为       。

9.已知，AB∥CD.点M在AB上，点N在CD上．

（1)如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：       ；（不需要证明）,

    如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：       ；（不需要证明）

（2)如图3中，NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E ∠F=180°,求∠FME的度数；

（3)如图4中，∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数。

10.如图，AB∥CD,点0在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，∠ABP=∠PDQ=a,PD平分∠BPQ.    

（1)求∠BPD的度数（用含a的式子表示）；

（2)过点D作DE∥PQ交PB的延长线于点E,作∠DEP的平分线EF交PD于点F,请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；

（3)将（2)中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ,若EQ恰好平分∠PQD,请直接写出∠FEQ=           （用含a的式子表示）。

【模型2 “铅笔”型】

模型一“铅笔”模型

  点p在EF右侧，在AB、CD内部         “铅笔”模型

结论1:若AB∥CD,则∠P ∠AEP ∠PFC=360°；

结论2:若∠P ∠AEP ∠PFC=360⁰,则AB∥CD.

1.如图，AB∥ED,∠B ∠C ∠D=( )

A. 180°

B. 360°

C. 540°

D. 270°

2.一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE,则∠ABC ∠BCD=         .

数学陈老师:    

3.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD,CG∥EF,∠BAG=150°,∠DEF=130°,则∠AGC的度数是      .

4.如图，已知 AB//CD.

   

（1)如图1所示，∠1 ∠2=       ;

（2)如图2所示，∠1 ∠2 ∠3=       ;并写出求解过程．

（3)如图3所示，∠1 ∠2 ∠3 ∠4=           ;

（4)如图4所示，试探究∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ·· ∠n=        .

5.问题情境：如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数。

思路点拨：

小明的思路是：如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；

小丽的思路是：如图3,连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；

小芳的思路是：如图4,延长AP交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数。

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为＿°;    

问题迁移：

（1)如图5,AD∥BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠a,∠BCP=∠β.∠CPD、∠a、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

（2)在（1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠a、∠β间的数量关系。

6.综合与探究：

（1)问题情境：如图1,AB∥CD, ∠PAB=130°, ∠PCD=120°.求∠APC的度数．

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2,过P作PE∥AB,

∴∠APE ∠PAB=180°.

∴∠APE=180°- ∠PAB=180°-130°=50°.

∵AB∥CD.

∴PE∥CD.

……

请你帮助小明完成剩余的解答。

（2)问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：

如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动，∠ADP=∠a, ∠BCP=∠β.当点P在A,B两点之间时，∠CPD, ∠a, ∠β之间有何数量关系？请说明理由。    

数学陈老师:

7.如图1,四边形MNBD为一张长方形纸片．

（1)如图2,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD),则∠BAE ∠AEC ∠ECD=               ；

（2)如图3,将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD),则∠BAE ∠AEF ∠EFC ∠FCD=        。

（3)如图4,将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD),则∠BAE ∠AEF ∠EFG ∠FGC ∠GCD=       ；

（4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出（n 1)个角，那么这（n 1)个角的和是           .

8.已知AB∥CD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线AB,CD之间有一动点P.    

（1)如图1所示时，试问∠AEP, ∠EPF, ∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．

（2)除了（1)的结论外，试问∠AEP, ∠EPF, ∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并证明；

（3)当∠EPF满足0⁰∠EPF∠180°,且QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,

    ①若∠EPF=60°,则∠EQF=        ；

    ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系          。（直接写出结论）

9.如图，AB∥CD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线AB,CD之间有一个动点P,满足0⁰＜∠EPF＜180°.

（1)试问：∠AEP, ∠EPF, ∠PFC满足怎样的数量关系？

解：由于点P是平行线AB,CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．如图1,当点P在EF的左侧时，易得∠AEP, ∠EPF, ∠PFC满足的数量关系为∠AEP ∠PFC=∠EPF;如图2,当点P在EF的右侧时，写出∠AEP, ∠EPF, ∠PFC满足的数量关系            .    

（2)如图3,QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧．

     ①若∠EPF=100°,则∠EQF的度数为；

     ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；

     ③如图4,若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q₁, ∠BEQ,与∠DFQ,的角平分线交于点Q₂, ∠BEQ₂与∠DFQ₂的角平分线交于点Q₃,以此类推，则∠EPF与∠EQ₂₀₂₀满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

10.阅读下面材料，完成（1)~(3)题．

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1,已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°.求∠2的度数．

   

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：

小明：“如图2,通过作平行线，发现∠1=∠3, ∠2=∠4,由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度数．”

小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度数．”

小华：如图4,也能求出∠2的度数．”    

（1)请你根据小明同学所画的图形（图2),描述小明同学辅助线的做法，

    辅助线：          ；

（2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为         ；

老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广。”

请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：

（3)如图，AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，FP平分∠EFD, ∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请探究∠CFE与∠PEF的数量关系（（用含a的式子表示），并验证你的结论。

【模型3“鸡翅”型】

模型三“臭脚”模型（“鸡翅”模型）

结论1:若AB//CD,则结论1:若ABCD,∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP    

结论2:若∠p=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥ CD

1.①如图1,AB∥CD,则∠A ∠E ∠C=360°;

  ②如图2,AB∥CD,则∠P=∠A-∠C;

  ③如图3,AB∥CD,则∠E=∠A ∠1;

  ④如图4,直线AB∥CD∥EF,点O在直线EF上，则∠a-∠β ∠=180°.

以上结论正确的个数是（ )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.（1)已知：如图（a),直线DE∥AB.求证：∠ABC ∠CDE=∠BCD;

  （2)如图（b),如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？    

3.（1)如图（1)AB∥CD,猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由。

  （2)观察图（2),已知AB∥CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．

  （3)观察图（3)和（4),已知AB∥CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．

4.如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE.    

（1)求证：∠B ∠C-∠A=180°；

（2)如图②,AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；

（3)如图③,在（2)的前提下，且有AC∥QB,直线AQ、BC交于点P,QP⊥PB,直接写出∠DAC: ∠ACB: ∠CBE=         .

5.如图，已知AD⊥AB于点A,AE∥CD交BC于点E,且EF⊥AB于点F.

求证：∠C=∠1 ∠2.

6.已知，AE∥BD,∠A=∠D.

（1)如图1,求证：AB∥CD;    

（2)如图2,作∠BAE的平分线交CD于点F,点G为AB上一点，连接FG,若∠CFG的平分线交线段AG于点H,连接AC,若∠ACE=∠BAC ∠BGM,过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M,且3∠E-5∠AFH=18°,求∠EAF ∠GMH的度数。

数学陈老师:

7.已知AM∥CN,点B为平面内一点，AB⊥BC于B.

（1)如图1,点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为       ；

（2)点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D.

    ①如图2,说明∠ABD=∠C成立的理由；    

    ②如图3,BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E.若∠FCB ∠NCF=180°, ∠BFC=3DBE,求∠EBC的度数。

8.已知直线1₁∥1₂,A是1₁上的一点，B是1₂上的一点，直线1₃和直线1₁, 1₂交于C和D,直线CD上有一点P.

（1)如果P点在C,D之间运动时，问∠PAC, ∠APB, ∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．

（2)若点P在C,D两点的外侧运动时（P点与C,D不重合），试探索∠PAC, ∠APB, ∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）

【模型4 “骨折”型】

模型四“骨折”模型（“鹰嘴”模型）

点p在EF左侧，在AB、CD外部             “骨折”模型    

结论1:若AB∥CD,则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；

结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.

1.如图，如果AB∥EF,EF∥CD,则∠1, ∠2, ∠3的关系式     .

2.如图，将∠A为30°的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，则∠1 ∠2的度数为       .

3.如图，AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,则∠BCD的度数为        .

   

4.如图所示，AB∥CD,∠E=37°,∠C=20°,则∠EAB的度数为      .

5.如图，若AB∥CD,则∠1 ∠3-∠2的度数为         .

数学陈老师:

6.已知AB∥CD,求证：∠B=∠E ∠D    

7.已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA、PD.

（1)如图1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度数；

（2)如图2,判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为         ；

（3)如图3,在（2)的条件下，AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN 1/2∠PAB=∠APD,求∠AND的度数。

8.（1)如图，AB∥CD,CF平分∠DCE,若∠DCF=30°,∠E=20°,求∠ABE的度数；

   

  （2)如图，AB∥CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°,求∠ABE的度数。

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