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从“类比”到“建模”，从“定性”到“定量” —— 一道经典压轴题的解题思路分析 王 桥 近一段由于加班加点在修订《冲刺十招》，所以基本上就顾不上回复留言了。这不，昨天罗老师问的这道题，虽然难度不算很大，却很有代表性，今天《冲刺十招》终于修订完毕，咱们就看下这道题。  例 例1、【问题解决】 （1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，AE、BD交于点F，且AD=CE，则线段AE、BD的数量关系为 ；∠BFE= ；
【类比迁移】 （2）如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D、E分别在AC、BC边上，AE、BD交于点F，且CE=√2AD。 ①试判断AE、BD之间的数量关系，并说明理由； ②求∠BFE的度数；
【拓展探究】 （3）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，点D是边AC上的一动点，点E是射线CB上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿AC从A运动到C的过程中（可以与C点重合），直接写出CF长的最大值和最小值。
 【分析】第（1）小问是一道比较经典的题目（可参考“老王的数学”公众号《有多少个等边三角形》等相关文章）： ∵△ABC为正三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=60°，∵AD=EC，则易证明△ABD≌△CAE（SAS），即可得到BD=AE，且∠ABD=∠CAE，∵∠CAE+∠BAE=60°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=60°。
【分析】下面咱们看下第（2）问。 老王语录：类比就是照猫画虎，依葫芦画瓢！ 刚才咱们证明了△ABD和△CAE全等，用的是“SAS”，这里咱们仍然用“SAS”，不过只能证明△ABD∽△CAE。 ∵∠ABC=90°，AB=AC，则∠DAB=∠ECA=45°，又∵AD：EC=AB：CA=1：√2，∴△ABD∽△CAE。∴BD：AE=1：√2，∠ABD=∠CAE，∵∠CAE+∠BAE=45°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=45°。
【分析】关键是第（3）问！ 欲求CF的最大值和最小值，观察到点C为定点，点F为动点，需要判断点F的轨迹类型。若是“直线型”轨迹，用的是“点线距离”之——垂线段最短；若是“圆弧型”轨迹，用的是“点圆距离”之——“一箭穿心”策略。 由于点D在AC上运动，则需判断点F运动的轨迹形状和轨迹范围，咱们用两种方法来判断点F的轨迹形状和范围。 方法一：“三点一线”法！ 运用“极端化思想”，把动点三个极端特殊点：起点、中点、终点的位置画出来，看这三点如果在一条直线上，则为“直线型”轨迹；如果三点不在同一直线上，则必为“圆弧型”轨迹。 咱们不妨分别看下D和点A重合时、点D在AC上时、点A到达点C时等几种情况下点F的位置，如图：
显然，点D是沿着线段AC，走的是“直线型”的线段；而点F则在不断地“拐弯”，据此即可判断其轨迹为“圆弧型”——这是老师应该交给学生的最直截了当的判断轨迹的方法。 方法二：“隐圆模型”法 老王语录：定弦定角，必有隐圆！ 由（2）知，∠BFE=45°，则∠AFB=135°，又∵AB=4为定长，则点F的轨迹必为“圆弧型轨迹”！ 确定了“形”，那么该如何确定“量”呢？即点F 究竟在以哪个点为圆心？多长的线段为半径？圆心角多大的圆弧上运动呢？ 如图，假设O为点F所在圆弧的圆心，则当点F在△ABC内部时，圆周角∠AFE=135°。在⊙O上任意找一点P，连接PA、PB，根据则∠P+∠AFB=180°，∴∠P=45°。连接OA、OB，根据圆周角定理，则∠AOB=2∠P=90°。
如图，而当点D越过AC的中点，点F在△ABC外部时，∠AFB为45°的圆周角，则圆心角∠AOB=2∠AFB=90°。
如图，当D运动到C时，E、F重合，由于AE=√2BD=AC，则此时E、F、B、C在一条线上，A、O、E、F在一条直线上，终点F是点C关于AB的对称点。
即可确定：圆心O是以AB为斜边，向△ABC外所做的等腰直角三角形的直角顶点！其半径OA=AB·cos45°=2√2。且点F在以O为圆心，AO为半径的半圆上运动！——至此，点F的轨迹形状和运动范围全部搞定！
【分析】 下面咱们求最值（更多关于“几何最值”的策略，请参阅《春季攻势》第17讲“几何最值”）！ 如图，显然，易求得CF的最大值为CG的长，CG=2BC=8； 连接OC，交⊙O于点M，则CM为最小值。易知∠OAC=90°，∵OA=2√2，AC=4√2，则OC=2√10，∴CF的最小值=CM=CO-OM=2√10-2√2。
最后，作为老师，咱们还可以借用“欺负小孩纸”的方法——在探究点F的轨迹过程中，可以用几何画板追踪点F的轨迹是明显的“圆弧型”——不过，老王认为：这是欺负小孩纸的不讲武德的行为。因为学生平常做题、将来考试的时候是不能用几何画板的！建议给学生讲，还是用他们能够接受的方法吧！
老王语录：解决一道压轴题，是需要动用多少种数学思想方法的。 最后咱们再来看看解决这道题都动用了哪些数学思想方法： 一、类比思想：第（1）问到第（2）问用的是“类比思想”。关于“类比思想”，请参阅《冲刺十招》第3招“触类旁通学'类比’”。
二、建模思想：还有哪些“隐圆模型”？可参照《春季攻势》第13讲“圆与辅助圆”或《冲刺十招》第5招“胸有成竹会'建模’”之“隐形圆模型”
三、极端化思想：确定轨迹形状时用到了“极端化思想”，关于“极端化思想”的更多内容，可参照《冲刺十招》第一招“绝境逢生应'特值’”
四、数形结合思想：先确定形状、再确定位置这些都是“定性分析”；确定形状和位置后，再根据确定的形状和位置所满足的数量关系求出符合条件的结果，就是“定量分析”。从“定性”到“定量”，从“图形”到“数据”，数形结合，相得益彰。关于更多“数形结合”的内容，可参阅《冲刺十招》第7招“比翼双飞看'数形’”。
五、转化思想： ...... 最后广告来电......
一、最新版（2024）《冲刺十招》来了，需要请联系老王！！！
二、尚有少量七八九年级秋季培优《沙场秋点兵》（北师版、人教版）、七八年级春季培优《春季攻势》（北师版）（人教版）、中考一轮培优《冲击攻势》（通用版本）
1、沙场秋点兵，谁与我争锋？——中考培优系列之《沙场秋点兵》解读 2、仍是“手拉手” 难逃“瓜和豆” ——“确定轨迹”“构造函数”“构造方程”“数形结合”和“分类讨论”一个都不能少 3、动点问题？旋转问题？轨迹问题？瓜豆原理？构造手拉手？几何最值？极端化思想？——从一道压轴小题看几何最值之“点线距离” 4、12345模型、面积法和构造手拉手——本质还是构造方程法 6、小议构造策略与整体思想——一道构造“手拉手”与“补形”好题 7、借助“隐形圆”，构造“手拉手” ——再谈一道几何最值好题 8、从“斜化正”到“构造'手拉手’” ——重讲一道经典压轴小题 12、三谈“构造方程法” 13、反比例函数的面积问题 15、试试面积法 17、中考要不要“套路”（1）————小议破解2021年河南中考数学压轴题之“套路” 18、看不见的“手拉手”（2） 19、数学的模型 20、小议“改斜归正” 22、造模型一劳永逸，手拉手一以贯之 一般性高屋建瓴，特殊性别样风景 ——简析2021郑州二模三道压轴题 23、又见“反向手拉手” 25、中考要不要“套路”（2） ——再议破解2021年河南中考数学压轴题之“套路” 29、也谈“种瓜得瓜，种豆得豆”（1） ——“轨迹问题”与“轨迹思想” 30、再谈“种瓜得瓜，种豆得豆”（2） ——“轨迹问题”与“轨迹思想” 31、三谈“种瓜得瓜种豆得豆”（3） ——一道“双动点双轨迹”极值问题的探讨 34、仍从“一线三等角”说起 36、什么是《沙场秋点兵》 37、春季来袭，何不攻势？ 40、《冲刺十招》“练兵篇”一题解析——再看解决中考压轴题的“通法”和“特法” 42、春季为什么要“攻势”？ 43、隐形圆、飞鱼模型、共高定理、几何最值 ——一道小题的中考数学关键词 48、看我“一箭穿心” ——几何最值之“点圆距离”和“圆线距离” 51、勾股定理与面积——《沙场秋点兵》（北师版八年级）第3讲部分解读 53、从一道小题的三种解法再看建模法 ——三议中考要不要“套路” 54、不一样的模型，一样的套路——四谈中考究竟要不要“套路”小议解决2022河南中考数学试卷压轴题之通法 55、放大招——今年中考都考什么？（1）——揭秘处理一类矩形折叠问题的通性通法 56、有理数单元第一难——绝对值——轮换对称式、零点分段法、分段函数、代数最值、分类讨论、数形结合......这里的信息量有点大 57、大胆设参数，强势造方程；暴力做计算，灵活用模型；坐标妙转化，面积巧运用 61、关于半角模型若干结论的证明——《春季攻势》第12讲“倍角和半角模型”部分结论集中证明（1） 62、关于半角模型若干结论的证明（2）——《春季攻势》第12讲“倍角和半角模型”部分结论集中证明 63、个性化入手，一般化处理，类比、归纳、建模、演绎——说说“规律探究”问题的处理策略 66、仍是“手拉手” 难逃“瓜和豆” ——“确定轨迹”“构造函数”“构造方程”“数形结合”和“分类讨论”一个都不能少 68、小议一条线段扫过的面积——三个线段旋转面积模型和又一道运用极端化思想和转化思想确定动点轨迹的压轴小题 69、化动为静定形状 构造函数求最值——《沙场秋点兵》一道几何最值压轴小题的解析 71、反比例函数中的两个小结论 72、为啥叫反比例函数 73、一个小变形，三个大作用——反比例函数解析式的变形式的灵活运用 74、整体思想 设而不求 ——解决反比例函数问题的又两个常用策略 76、初中数学学习的四种境界和中招考查的四个层次——以一轮备考培优之《春季攻势》再议新课标之“四基”与“四能” 77、反比例函数中的一个有趣的小结论——《沙场秋点兵》“反比例函数中的面积问题”两个小结论的证明 78、从2024郑州一模一道压轴小题小议一轮备考复习中的试卷讲评及复习课 79、有多少个等边三角形 ...... |
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来自： 当以读书通世事 > 《073-数学（大中小学）》
