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负数 负数源于社会生活实际，其出现是数学发展的必然结果。我国是世界上最早使用负数的国家，最迟于公元前1世纪就应用了负数。而印度是7世纪，西方国家直到17世纪才算真正接受了负数概念。  负数产生于生产实践 奇与偶，有界与无界，善与恶，左与右，一与众，雄与雌，直与曲，正方与长方，亮与暗，动与静。 人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如，在记帐时有余有亏；在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。可见正负数是生产实践中产生的。 负数在中国 据史料记载，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算。这些小竹棍叫做“算筹”算筹也可以用骨头和象牙来制作。  我国在战国时期就认识到了负数。如李悝（约前455-395）在《法经》中写道，“衣五人终岁用千五百不足四百五十”。而在甘肃居延出土的汉简中, 有“相除以负百二十四算” 、“负二千二百四十五算” 、“ 负四算, 得七算, 相除得三算”等类似叙述,这里把“负”与“得”相比，意为缺少、亏空,就是今天负数的雏形。  关于负数的加减法运算法则是在我国古代数学经典著作《九章算术》给出的，其最晚成书于公元前1世纪。 同名相除, 异名相益， 正无入负之, 负无入正之. 其异名相除, 同名相益, 正无入正之, 负无入负之. 这里的“同名”、“异名”, 就是“同号” 和“异号”,“相益” 、“相除” 是二数绝对值“相加” 和“相减” ,“无”即“零” 。前四句为减法法则，后四句为加法法则。  大意为：同号两数相减，等于其绝对值相减（若绝对值较大者为被减数，则符号不变；否则要改变符号）；异号两数相减, 等于其绝对值相加（取绝对值较大者符号）；零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加, 等于其绝对值相减（取绝对值较大者符号）；同号两数相加, 等于其绝对值相加（符号不变）；零加正数等于正数, 零加负数等于负数。 我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。  刘徽 刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他在注释《九章算术》时，给出负数解释，“两算得失相反，要令正负以名之。”意为在计算过程中遇到具有相反意义的量，应用正负数加以区分。他还第一次给出区分正负数的方法：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异。”即在算筹运算中，用红筹表示正数，用黑筹表示负数；亦可用斜放小竹棍表示负数，用正放小竹棍表示正数。 此外，东汉末年的刘洪(约130-210)和宋代杨辉也论及了正负数加减法则，皆与《九章算术》一致。尤为称道的是，朱世杰(1249-1314)在其1299年问世的《算学启蒙》中给出正负数的乘除法则： 同名相乘为正， 异名相乘为负， 同名相除所得为正, 异名相除所得为负. 这里的乘除运算已是今天的乘除了。  负数在国外：负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。 一 印度对负数的认识 印度最早使用负数者是婆罗摩笈多(Brahmagupta，598-665), 其在628年完成的《婆罗摩修正体系》第18章中给出了正负数的四则运算法则, 他认为负数就是负债和损失, 并用小点或小圈标在数字上面表示负数。和当时印度数学家一样，婆罗摩笈多将文字编排成椭圆形句子，而且最后会有一个环状排列的诗，让人读起来感觉很美妙。  婆罗摩笈多 对于正负数加减法法则，他叙述道： 18.30：正数加正数为正数，负数加负数为负数。正数加负数为彼此之差，若它们相等，其结果为零。负数加零为负数，正数加零为正数，零加零为零。 18.32：负数减零为负数，正数减零为正数，零减零为零，正数减负数为彼此之和。 对于正负数乘除法法则，他叙述道： 18.33：正负得负，负负得正，正正得正，正数乘零﹑负数乘零和零乘零皆为零。 18.34：正数除正数或负数除负数皆为正数，正数除负数或负数除正数皆为负数，零除零为零。 18.35：正数或负数除零，有零作为该数的除数；零除正数或负数，有正数或负数作为该数的除数。正数或负数的平方为正数，零的平方为零。 可见婆罗摩笈多已明确把0作为一个数来对待，这在当时是个了不起的数学成就。他还试图以0作分母，认为0/0=0，实际上其值在现代数学中是不确定的。  印度泰姬陵 二 西方对负数的认识 古巴比伦人在解方程中未提出负根概念，即不用或未发现负数根。西方首先使用负数者应是古希腊的丢番图 (Diophantus，约246-330) , 尽管他不承认方程的负根,但已认识到“减数乘减数得加数, 加数乘减数得减数”。 若在解方程中出现负根，他就放弃此根。  丢番图 至14世纪，丘凯(N.Chuquet，1445-1500)和斯蒂弗尔(M. Stifel，1487-1567)都称负数为“荒谬之数”。 卡尔达诺(G..Cardano，1501-1576)在其《大术》中承认了负根, 但却认为负数是“假数”。 直到1572年，邦贝利(R.Bombelli，1526-1572)在其《代数学》中才给出了负数的明确定义。  邦贝利 然而在17世纪以前, 西方有不少数学家不承认负数，如韦达(F.Viète，1540－1603),在解方程时极力回避负数, 并把负根统统舍去。由于把零看作“无” , 因而难以理解比“无” 还要“少”。如帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）认为，从0减去4是纯粹胡说。而阿润德则举例强烈反对负数，若(-1):1=1:(-1)，则有较小数与较大数之比等于较大数与较小数之比，岂不荒谬！直到1712年，连莱布尼兹也承认这种说法合理。 直到1629年，荷兰数学家吉拉德(A.Girard，1593-1632)才使用负数解决几何问题，并在其《代数新发现》中用“-”表示负数和减法运算。吉拉德的符号得到公认，一直沿用至今。 英国数学家瓦里承认负数，同时认为负数小于零而大于无穷大（1655年）。他对此解释到：因为a＞0时，英国著名代数学家德.摩根 在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲年龄将是儿子的二倍？”他列方程56+x=2（29+x），并解得x=-2.他称此解是荒唐的。当然，欧洲18世纪排斥负数的人已经不多了。  英国著名代数学家德.摩根 与中国数学家不同的是，西方数学家更多的是关注负数存在的合理性。随着19世纪实数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才算真正建立起来。可见负数概念在西方国家被认可经历了较长的一段时间。故负数的率先引进是我国古代数学家奉献给数学科学的一份瑰宝。 东方数学对负数的认识只限于它的运算，西方理性思辨的传统，聚焦负数的理解上，最终完成了数学的抽象，过程艰辛，耐人寻味。 欢 迎 关 注 “悦读数学” |
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