几何定值之线段(1)

在平面几何证明题中，常常会遇到这样一类问题，平面图形的某些元素在变化，而另一些元素（如点、线段、角等）保持不变，研究这些不变量，称为定值问题。

平面几何定值问题，有两种情形，一种是给出条件，给出定值；另一种是给出条件，但未给出定值，此时如何探求出这个定值是证明的关键。

下面通过一些典型问题来说明如何证明定值问题：

1、如图，等边△ABC，边长为a，P为三角形内任意一点，PD∥AC交AB于点D，PE∥AB交BC于点E，PF∥BC交AC于点F。求PD+PE+PF的值。

解题过程如下：

第一步：辅助线如图所示；

第二步：容易证得△DGP、△PEH、△MPF为等边三角形；四边形GBEP、四边形PHCF为平行四边形；

第三步：线段转化，PD+PE+PF=PG+EH+PF=BE+EH+HC=BC为定值。

总结：不管P在三角形内部哪个位置，PD+PE+PF的值始终为定值，等于等边三角形的边长。

2、如图：等腰△ABC，AB=AC，点P为底边BC上一点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求PD+PE的值。

利用等面积法解题：只要△ABC确定，则PD+PE的值为定值。