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(1)【操作发现】 如图 1, 将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 60∘ ，得到 △ADE ，连接 BD ，则 ∠ABD=___ 度。 (2)【类比探究】 如图 2 ，在等边三角形 ABC 内任取一点 P ，连接 PA ， PB ， PC ，求证：以 PA ， PB ， PC 的长为三边必能组成三角形。 (3)【解决问题】 如图 3, 在边长为⎷& 7的等边三角形 ABC 内有一点 P,∠APC=90∘,∠BPC=120∘ ，求 △APC 的面积。 (4)【拓展应用】 如图 4 是 A,B,C 三个村子位置的平面图 , 经测量 AC=4,BC=5,∠ACB=30∘ ， P 为 △ABC 内的一个动点，连接 PA ， PB ， PC. 求 PA+PB+PC 的最小值。 答案 （1）【操作发现】 如图1中，连接BD． ∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE， ∴AD=AB，∠DAB=60°， ∴△DAB是等边三角形， ∴∠ABD=60° 故答案为60． （2）【类比探究】证明：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD． ∵∠BAC=∠PAD=60°， ∴∠BAP=∠CAD， ∵AB=AC，AP=AD， ∴△PAB≌△ACD（SAS）， ∴BP=CD， 在△PCD中，∵PD+CD>PC， 又∵PA=PD， ∴AP+BP>PC． ∴PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形． （3）【解决问题】 如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′， ∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°， ∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°， ∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°， ∴PP′= ⎷ 3 2PC，即AP= ⎷ 3 2PC， ∵∠APC=90°， ∴AP 2+PC 2=AC 2，即（ ⎷ 3 2PC） 2+PC 2=（ ⎷ 7） 2， ∴PC=2， ∴AP= ⎷ 3， ∴S △APC= 1 2AP·PC= 1 2× ⎷ 3×2= ⎷ 3． （4）【拓展应用】 如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC， ∴△APC≌△EDC（旋转的性质）， ∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=4，∠PCD=60°， ∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB， ∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°， ∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°， 在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，BC=5，CE=4， ∴BE= ⎷ BC2+CE2= ⎷ 52+42= ⎷ 41， 即PA+PB+PC的最小值为 ⎷ 41； 解析 （1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB是等边三角形即可； （2）【类比探究】：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题； （3）【解决问题】：如图3中，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解决问题； （4）【拓展应用】：如图4中，先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP=∠ECD，AC=EC=4，∠PCD=60°，再证明∠BCE=90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为PA+PB+PC的最小值；      |
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