曲线、曲面积分

1.对弧长的曲线积分

定理：设  在曲线弧  上有定义且连续，  的参数方程为    ，若  和  在  上具有一阶连续导数，且  ，则曲线积分  存在，且

    ．

同济大学数学系，《高等数学》第七版下册第190页

需要注意的是，积分下限  一定要小于积分上限  ．

这是因为  ，而微分弧段  总是正的，所以  也总是正的，这就要求积分下限  一定要小于积分上限  ．否则，  就是负的了．

如下图所示，微小弧段  的长度近似等于线段  的长度，于是在不计高阶无穷小的情况下有，

  ．

有了这个结论，对弧长的曲线积分的计算公式也就更好记了．

如果曲线弧  由方程    给出，那么可以将其看成特殊地参数方程    ，于是

    ．

类似地，如果曲线弧  由方程    给出，那么有

    ．

如果曲线弧  是空间曲线弧，且其参数方程为    ，那么有

    ．

同济大学数学系，《高等数学》第七版下册第191页

如果曲线弧  由极坐标方程  给出，那么有

  ．

这是因为，由直角坐标与极坐标的关系有  ，进而得  ，  ，于是  ，最后代入  便得上式．

对弧长的曲线积分的几何意义：

设曲线  是  面内的一条光滑曲线，以曲线  为准线作柱面得曲面  ，如下图所示．

设曲线  是柱面  上的一条连续曲线，且曲线  位于  面的上方，如下图所示．

由对弧长的曲线积分的定义，参考定积分的几何意义可知，  等于曲线  与曲线  之间的柱面面积，即下图中所剩曲面的面积．

如果曲线  位于  面下方，则  等于曲线  与曲线  之间的柱面面积的相反数．如果曲线  既有位于  面上方的部分，又有位于  面下方的部分，则  等于  位于  面上方的部分与  之间的柱面面积减去  位于  面下方的部分与  之间的柱面面积．

2.对坐标的曲线积分

定理：设  与  在有向曲线弧  上有定义且连续，  的参数方程为  ，当参数  单调地由  变到  时，点  从  的起点  沿  运动到终点  ，若  与  在以  及  为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且  ，则曲线积分  存在，且

  ．

这里，积分下限  对应于  的起点，上限  对应于  的终点，  不一定小于  ．

当积分弧段的方向改变时，对坐标的曲线积分要改变符号．关于对坐标的曲线积分，我们必须注意积分弧段的方向．

同济大学数学系，《高等数学》第七版下册第197页

对坐标的曲线积分  其实是  的简写形式，它是两个积分的和．需要计算  时，也可以分别计算  和  之后再求和．

在计算二重积分  的内层积分  时，应该将  看作常数；但是在计算对坐标的曲线积分  时，却不能将  看作常数．这是因为对于二重积分的被积函数  而言，两个自变量  和  在积分区域内是相对独立的，它们中一个的改变并不会影响到另一个，所以在对  进行积分的时候可以将  看作常数；而对于对坐标的曲线积分  的被积函数  而言，两个自变量  和  并不是独立的，以  和  为坐标的点  必须在积分弧段  上，所以当它们其中一个变动之后，为了保证点  仍然在积分曲线上，另一个一定会相应地发生变动，所以在计算对  的曲线积分时不能将  看作常数．

利用积分的定义，这个问题可以被解释得更透彻．将二重积分化为  形式时，一定是用平行于  轴和  轴的网格线将积分区域划分成  个小闭区域的．对  进行积分时，内层积分  对应积分和  ，而且这个积分和中的  是在下图中的阴影部分内的各个小闭区域中取得的，当  时图中阴影部分趋近于一条平行于  轴的直线，在这条直线上的任何点的纵坐标都是相同的，相应的函数值  也就只是关于横坐标的函数，积分和  也只会受到横坐标的影响，极限  也就只与横坐标有关系，于是纵坐标就相当于常数了．

而在对坐标的曲线积分  中，其对应的积分和中的  在图中每一个小弧段  中取得，我们可以看到，每一个  的横、纵坐标都不一样，所以不能将  看作常数．而如果积分曲线是一条平行于  轴的线段  ，此时  的纵坐标总是相同的，也就能将  的值  代入曲线积分中得到  了．

因为  中，  的坐标  和  是相关联的，于是要求  ，只需将  中的  表示成关于  的函数即可，要求  ，只需将  中的  表示成关于  的函数即可，要求  ，只需将  和  表示成关于同一个变量  的函数即可．于是，

当积分弧段  的方程以  的形式给出时，

  ．

当积分弧段  为空间曲线，且其参数方程为  时，

  

             

                ． 

两类曲线积分之间的关系

①　曲线弧段  是平面曲线弧时，

  ，

其中曲线弧段  的参数方程为  ，  和  是弧段  在点  处的切向量的方向余弦，  ，  ．《向量代数与空间解析几何》

②　曲线弧段  是空间曲线弧时，

  ，

其中曲线弧段  的参数方程是  ，  、  和  是弧段  在点  处的切向量的方向余弦，  ，  ，  ．

不计高阶无穷小时，  （如下图所示），于是  ，  ，代入  中马上就可以得到上述结论了．

 

3.对面积的曲面积分

设积分曲面  由方程  给出，  在  面上的投影区域为  ，函数  在  上具有连续偏导数，被积函数  在  上连续．则

  ．

这样就将对面积的曲面积分化为二重积分了．

如下图，不计高阶无穷小，则  ．而  或  ，因为  ，所以取  ，于是  ，代入  便得到上式了．需要注意，这不是证明方法，而是帮助记忆或理解的方法，证明方法见同济大学数学系编著的《高等数学》第七版下册第220页．

也可以将积分曲面  投影到  平面或  平面来计算对面积的曲面积分．设积分曲面  在  平面上的投影区域为  ，则

  ．

设积分曲面  在  平面上的投影区域为  ，则

  ．

4.对坐标的曲面积分

在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧．我们可以通过曲面上法向量的指向来确定出曲面的侧．例如，对于曲面  ，如果取它的法向量  的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧．这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就称为有向曲面．

同济大学数学系，《高等数学》第七版下册第223页

设积分曲面  是由方程  所表示的曲面上侧，  在  平面上的投影区域为  ，函数  在  上具有一阶连续偏导数，被积函数  在  上连续．则

  ．

如果积分曲面  是由方程  所表示的曲面下侧，则

  ．

同理，设积分曲面  是由方程  所表示的曲面右侧，  在  平面上的投影区域为  ，函数  在  上具有一阶连续偏导数，被积函数  在  上连续．则

  ．

如果积分曲面  是由方程  所表示的曲面下侧，则

  ．

 积分曲面  是由方程  给出时也有类似结论，只是当积分曲面取  前侧时积分取正号，取  后侧时积分取负号．

 在对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分中，被积函数的自变量的取值区域与积分区域出现了分离，这种现象是之前学过的定积分和重积分所没有的．

在定积分  中，积分区间是  ，被积函数的自变量也是在  与  之间取值；但在对坐标的曲线积分  中（  的方程为    ），因为积分变量是  ，所以积分区间也是  ，但被积函数的自变量却是在曲线  上取值．

在二重积分  中，积分区域是  ，被积函数的自变量也是在  中取值；在对坐标的曲面积分  中，被积函数的自变量在积分曲面  上取值，但积分区域却是  在  面上的投影区域．

两类曲面积分之间的关系：

  

          ．

其中积分曲面  的方程为  ，  、  和  是积分曲面  在点  处的法向量  的方向余弦，根据  被选取的不同侧，  或  ．

5.格林公式

定理：设闭区域  由分段光滑的曲线  围成，若函数  及  在  上具有一阶连续偏导数，则有

  ，

其中  是  的取正向的边界曲线．

同济大学数学系，《高等数学》第七版下册第205页

若  是复连通区域，则曲线  应包含区域  的全部边界曲线，而且所有边界曲线都应取正向．当观察者沿着边界曲线行走时，因为行走方向的不同，  内在他近处的那部分可能在他的左边，也可能在他的右边．使  内在他近处的那部分在他左边的行走方向，即边界曲线的正向．

定理：设区域  是一个单连通域，若函数  及  在  内具有一阶连续偏导数，则曲线积分  在  内与路径无关的充分必要条件是

  

在  恒成立．而且，  在  内为某一函数  的全微分的充分必要条件也是

  

在  恒成立．

同济大学数学系，《高等数学》第七版下册第209页

6.斯托克斯公式

定理：设  为分段光滑的空间有向闭曲线，  是以  为边界的分片光滑的有向曲面，  的正向与  的侧符合右手规则，如函数  、  与  在曲面  （连通边界  ）上具有一阶连续偏导数，则有

           

  ．

同济大学数学系，《高等数学》第七版下册第240页

这个公式等号右边的曲面积分中，各个偏导数前面的正负号，是比较容易记混的地方．记忆时不要将各个偏导数的正负号与  、  、  联系在一起，而要与  、  、  联系在一起．

例如，位于  前面的两个偏导数，先确定  ，在等式前面的曲线积分中，  与  对应，  与  对应，在等式右边这种对应关系是相反的，即  与  对应，  与  对应，于是就得到了  ．同样，位于  前面的两个偏导数,先确定  ，再根据相反的对应关系得到  ．位于  前面的两个偏导数也根据同样的方法确定正负号．

也有将这个公式写成下面这种借助行列式的，读者朋友们可以按照自己偏爱的方式选择一种记忆方法．

  

                               ．

环流量

设有向量场  ，其中函数  、  、  均连续，  是  的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线，  是  在点  处的单位切向量，则积分

  

称为向量场  沿有向闭曲线  的环流量．由两类曲线积分的关系，环流量又可表达为

  ．

其中  ，  ．

同济大学数学系，《高等数学》第七版下册第246页

7.高斯公式

定理：设空间闭区域  是由分片光滑的闭曲面  所围成，若函数  、  与  在  上具有一阶连续偏导数，则有

  ，

或

  ，

这里  是  的整个边界曲面的外侧，  、  和  是  在点  处的法向量的方向余弦．

同济大学数学系，《高等数学》第七版下册第232页

上面两个公式等号左边的积分符号应该有表示闭合曲面的圆圈，但公众号上好像不能直接打出这个符号，于是在别的地方打出来后以图片的形式只能补充在下面：