 文章内容如下。 合情推理是数学发明发明的主要手段，包括解法发现。它与逻辑推理的区别与联系就不介绍了。这里用两道几何最值题的解法发现对合情推理作下简要阐述。 第一题如图1。  图1 几何解法如下图2~4。  图2  图3  图4 上面的解法是如何想到的？也就是探索发现这个解法的底层思维逻辑是什么？对此题主要是合情推理，合情设想、直觉审美。 直觉审美，看图可直观感知到角DEF所处的几何结构不理想，或者说所处的几何结构(环境)不美，因为缺少数学语义丰富的几何结构模式，导致我们掌握的许多数学知识在此题中无法得到利用，使不上劲。 穷则思变，DEF为定角(60度)，自然地合情地想到取外接圆圆心O，之后出现120度角(角DOF)。此时糟糕的几何结构稍稍改善了些，语义稍微丰富了一些，但这种改善只局限于DEF三角形这个小范围内，它和周边的大环境(大的几何结构)仍缺少必要的关联性与模式感。 120度角DOF，与60度角A之间缺少关联性，它们不在一个数学模式中。没有条件要创造条件，没有美的模式，没有称心如意的数学模式就创造模式。由已有的120度，60度和目前的几何结构蕴含的暗示与启发，见微知著合情联想到构造60度角产生4点共圆模式，与此同时也预见到会产生正三角形。据此产生构造角BPF的念头，一旦顺应这个念头构造出这个60度的角之后，就引发一连串的多米诺骨牌效应或数学上的连锁反应：它与DOF配合产生4点共圆模式、产生APQ正三角形模式、PO为角平分线。可以感知意识到这些极大地改善了题目的几何结构(环境)，此时我们已经进入数学语义丰富域，也就是我们掌握的许多数学知识数学工具此时可以用上了。 后面的分类讨论根据需要自然地就能想到。因为根据TF与TH大小关系(TF<TH、TF>=TH)或者说角THF与45度的大小关系，我们作HF中垂线时，中垂线与PH的交点与TH的位置关系有所不同。例如当TF<TH时，交点在线段TH上。 求最小值，我们优先考虑情况1，这是OF、DF最有可能取得最小值的情况。 对情况1，不同的a值，DF有不同的最小值，例如a=0.1时，DF有许多取值，这些取值中存在一个最小值；对a=0.2也是如此。虽然这些最小值各有不同，但它们都满足同一个必要条件：此时的OM是HF的中垂线。据此我们可求出DF的最小值函数，自身换元后可用判别式法求出最终唯一的最小值，也就是小中取小。 从此题也可得出：数学题或者说数学问题通常都蕴含有最简洁，或最优美的、或最合适的、最贴合的(解题)结构模式/模型与表征形式，这样的结构模式/模型和表征形式直击本质，能优美地消解和转化该数学问题中的主要的本质的矛盾和痛点。我们要用通透系统的数学思维方法论武装头脑，从而在解题思维过程中能独著慧眼，发现这样的结构模式/模型和表征形式。 对此题，我们构造角BPF产生的4点共圆模式、APQ正三角形模式、PO为角平分线就是解决此题最简洁最合适的模式。 第二题如图。  图5 代数解法就不讲了，可以建系或类似坐标解法，高中也可用坐标旋转或复数、向量旋转。  图6 见图6，易知DFN为30度(角DNF为30度)直角三角形，DF/DN=1/2. 倍长BA到Q。DQ=DA+AQ=DA+BA=2DA+BD=2EF+2BE=2BF,故BF/DQ=1/2。 角NDF=DBF=60度，导角易知角QDN=DFB。 故QDN相似BFD,可得角NQD=DBF=60度，故QN为定直线，CQN为30度。过C作垂线CN'，即可得出CN最小值为根3，此时对应的DEFG也在三角形ABC中。 合情猜想N点的轨迹在直线上，或者说优先猜想直线，如不对再猜其它，例如圆。又因为两点确定一条直线，故需要选取一个定点，这个定点和N应该是同类(特殊的N点)。其实类似于物理中的参照系或数学坐标系，也启发我们选取一个定点作参考点，最好是选取同类的点(特殊的N点)作参考点。 而Q点就是这样的点。因为D在B点时，矩形DEFG退化为BC线段,DF也退化为BC。DF与对应的N点构成30直角三角形，相应地BC对应的Q点也应构成30度直角，据此自然想到倍长BA得到Q。
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