【原】CATO原理中的数学与魔术（八）——Royal Hummer及进阶一
在前面3篇文章中，我们重点介绍了Baby Hummer及其拓展，拓展主要从4张的plot和单元素集着两个性质出发，相关内容请戳：作为CATO原理魔术的代表作品，除了Baby Hummer外，还有一个名为Royal Hummer的姊妹篇，在《magical mathematics》中也有介绍，也是我能查到的最早出处，原作者是Steve Freeman，是2012年的作品。所以实际上它和Baby Hummer之间可能并没有直接联系，毕竟时间间隔久远，可能是因为Perci把二者都作为案例放到了一个章节里才产生的联系。今天我们就来介绍一下Royal Hummer这个作品以及其拓展。本作基本结构和《Royal Hummer》完全相同，只是按照CATO原理进行了少量的操作改进，不影响整体结构。这个魔术从最终效果层面，是典型的“自由巧合”类作品。什么意思呢？就是存在一点多样性结果，并非完美的预言或呈现无歧义的全部状态的吻合。比如这里的一条同花顺的组合朝向和其他牌不同，这里并没有规定是要都朝哪边，也没有规定同花顺的排列，在牌叠中的子序列位置，甚至没有规定哪条同花顺；又比如如果选牌是一串黑牌中的唯一红色，Baby Hummer中选牌朝向唯一不同等等。这些都并非完全固定的结果，但是有某种特定的性质，直接作为了神奇的描述。这么做有两方面的原因。数学原理上，是因为我们对性质的出现，保持，转化，都因为要一定的自由度，使得性质的描述不可能到每张牌的所有信息那么细。那根本不可预知，实际牌叠状态是个随机变量，完全确定了也不能成为魔术。我们只能掌控一些不好观察，但暗含在结构中的一些性质作为不变因素去实现最终的效果，就像质量被规定来作为唯一不变量一样。魔术方面，这样有弹性的效果，给观众留下了一定的想象空间，不完美，反而因为可思考而能感受到魔术的难度和神奇。否则硬生生的就容易放弃甚至形成秘密对抗，就不是魔术的初衷了，这一点在上一篇也提到过了。而这里的自由巧合的性质，实际上是一直有序转化和保持的性质是：CATOQD刚好由一套有意义的组合和剩余非组合内的牌张组成。这套有意义的组合只能是组合，不能有排列，因为我们的CATOQD性质，对顺序的保持一无所知。比如同花顺组合，四条组合，都是能够形成强烈效果的，如果你没想明白那个不变的性质的话。如果再建模一步，就把c.v的具体映射值上性质区分得到的商集结果作为CATOQD的目标，那就更直接地说明结论了。接下来说说这个魔术进入，保持和呈现的3个状态中操作的选择。首先是进入。不同于4张和哪怕多张但只有1张的简单反向，这里有4~5张牌需要构建一个不同性质的集合。有两个基本思路，1是从ERQV(O)常量性质开始，这个毕竟简单，再用anti faro gilbreath shuffle等进入CATOQD就行了，但缺点是容易暴露初始选择结果，需要有魔术手段，比如遮挡，或者4条的那一面一定要朝下等等；还有一种是直接依次发牌来构造CATOQERQV性质。即依次发牌，按照默认仅奇数或者偶数统一翻转的策略走，遇到目标集合中的元素就用另外一面，表演包装的说法是打乱正反的顺序，在Royal Hummer的原作中，还提到了一种快速实现的方法，那就是两两一对地进行，根据两张牌的存在于目标集合的情况决定如何排列，又快又乱。这个方法的好处是没有经历过ERQV(O)阶段，要知道这是最危险的秘密暴露阶段，毕竟结果也是一模一样呈现的。而这种一次翻转的方法虽然实际是固定操作，可观众看起来就是在随机打乱，而且只要目标集合占全部牌张数比例不要太小（比如dead parity sketch只有1张就不行，这也是它全程要在桌底的原因），看起来就是打很乱的，况且，这已经在魔术文化上附着在Royal Hummer魔术上成为一个经典操作被人们熟记了。其实这操作也没啥特别的嘛，就是挨个或2个一组变成要的方向，但好在和表演结合，恰到好处。而这也属于典型的需要根据牌叠状态值进行的特殊操作，有时候理解起来是很直白的，当然也不是不能建模，就是有些繁琐，超过了用数学模型把问题说清楚的需求。比如这里其实可以理解为把CATOQD性质为两个相等大小的集合，操作成其中一个刚好是目标元素集的过程，并保持牌张位置。根据定义，这也是同构映射（甚至任意两个CATOQD性质之间都能构建这种一一映射），两个性质是等价的，在D / CATOERQ的商集元素中互相转化着。而中间的CATOQD保持操作的设计，可谓是CATO原理魔术中最精彩的部分，因为里面可以玩出很多花来。因为这个操作集中的操作实在太多了，如何排列起来构成一个可行的流程是魔术师需要重点思考的。在原作中，用到的依然是CATO名称自带的切n张然后2张顶部翻牌操作，顶多扩展到2n张。切牌先不说了，放在中间调节用的，单独用大家大多知道洗不乱，联合用锦上添花；而顶部翻转2n张的操作，根据CATOQ合并定理，显然可以以n叠数牌的方式，只要每叠的张数为偶数，数牌加翻转的整叠倒转下自然可以随意合并；而这样的操作有个好处，就是有明显的起终点，不会没完没了做下去，一叠牌发完了就完了。这就是CATOQ偶数n叠数牌翻转定理中的CATOQERQV性质保持操作集中的操作族。当然，还有更自由的CATOQ偶数翻转合并定理的操作，但它和此魔术需要的整体流程结构不搭，有点过于自由，它有更好的使用场景，我们后面再说。不过这直接作为一个魔术还是有巨大漏洞的，很自然地就会有疑问：为什么都得是偶数张？因此，我们必须再找点奇数张，甚至自由张的类似动作，来掩盖这一步的不足，并构造一个递进结构，把这一步CATOQERQV的经典操作隐藏在其中作为一个环节，发挥其有限的作用。那奇数张的数牌什么情况下能保持CATOQERQV性质呢？CATOQ奇数n叠数牌 ^ 2定理告诉我们，每次数奇数张下去，自己还能选择是否再数，这个操作族也是CATOQERQV性质保持的。但这和原操作的差别有点大，全变为奇数的同时，还加上了数牌的新操作，后者可以考虑放弃；那任意张的切牌数牌，有没有保持CATOQERQV性质的呢？仔细回顾一下CATOQ合并定理的内容，如果不仔细控制每次发牌张数的奇偶性，以及数牌，翻转与否的条件，是无法做到合并时候满足相位匹配不出错的，换句话说，正是因为这些n叠数牌操作中对奇偶性的精细控制，才有了这样的结论。因此，如果真的是任意数量的数牌切牌，可以尝试的办法就是用CATOQERQV性质的父性质，即更强的性质的保持，来达成CATOQERQV性质保持的目标！那有什么性质可以看起来随意切n张，数n张，最后还保持牌叠排列基本不变呢？还真有，那就是n叠翻转和n叠数牌操作，二者都达成整叠牌的排序倒转，0:(n - 1) -> (n - 1):- 1: 0，而前者还顺便改变了每一张牌的方向。这里n叠都是幌子，它的操作结果和整叠翻转，或完整数一遍等价，是操作手法上的不同带来的自由和多样性，却在牌叠元组的描述上得到了完全一样的结果。而其操作转化的性质，基本上就是整个D的全部属性再加上个操作次数状态值了，只不过还有个2的周期性罢了。而这两个全局细化到每张牌的所有状态的性质转化过程，很容易得出其CATOQERQV性质是不变的。因为顺序的倒转，位置变为n - 1 - i，无论i为多少，对给定的n，其奇偶性的改变方式是一样的，如果n为偶数就改变，奇数就不变，这全局的改变刚好不会改变CATOQERQV性质，只是等价类元素的性质名称在偶数时换了而已；而整叠翻转也一样，无非是CATOQ值换一下，性质名称换一换而已。所以，我选取了奇数n叠数牌，偶数n叠数牌，再加上n叠翻转；其中前两个用到了CATOQERQV性质保持操作，后者则是其父操作，也保持；这样，形成了奇偶性自由度的递进，同时全程没有单张数牌操作显得太刻意复杂，观众全程只用说奇偶性正确的数字就可以了。这里很长时间，第一步我用的是奇数n叠双数牌操作（n叠数牌后牌叠内必数），最近写文章才改为奇数n叠数牌，因为理论的深刻清晰，彻底解决了这里的一个数牌操作多余的小漏洞。以上还只讨论了牌叠张数为偶数的情况，而实际自由选牌张数的时候，奇数张情况要么强选不要，要么就要处理，因为这些定理都要求2n的牌张数才成立。那奇数要如何处理？卖个关子，下集我们解答这个问题，同时对展示环节进行讲解，并给出另一个更极致的拓展作品。
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