题目解答

（1）由f(x)=4x-x4，可得f′(x)=4-4x3，当f′(x)＞0时，即x＜1时，函数f(x)单调递增；当f'(x)＜0时，即x＞1时，函数f(x)单调递减；∴f(x)的单调递增区间为（-∞，1），单调递减区间为（1，+∞）.（2）证明：设点p的坐标为（x0，0），则x0=413，f′(x0)=-12，曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0)，即g(x)=f′(x0)(x-x0)，令函数F(x)=f(x)-g(x)，即F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)，则F'(x)=f′(x)-f′(x0).由于f′(x)=4-4x3在（-∞，+∞）上单调递减，故F′(x)在（-∞，+∞）上单调递减，又因为F′(x0)=0，所以当x∈（-∞，x0）时F′(x0)＞0，当x∈（x0，+∞）时F′(x0)＜0，所以F(x)在（-∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对于任意实数x，F(x)≤F(x0)=0，即对任意实数x都有f(x)≤g(x).（3）证明：由（2）知，g(x)=-12(x-413)，设方程g(x)=a的根为x2′，可得x2′=-a12+413.∵g(x)在（-∞，+∞）上单调递减，又由 （2）知g(x2)≥f(x2)=a=g(x2′)，因此x2≤x2′.类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=4x，对于任意的x∈（-∞，+∞），有f(x)-h(x)=-x4≤0，即f(x)≤h(x).设方程h(x)=a的根为x1′，可得x1′=a4，∵h(x)=4x在（-∞，+∞）上单调递增，且h(x1′)=a=f(x1)≤h(x1)，因此x1′≤x1，由此可得x2-x1≤x2′-x1′=-a3+413.