题目解答

已知函数f(x)=4x-x4，x∈R.（1）求f(x)的单调区间；（2）设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x).

（1）由f(x)=4x-x4，可得f′(x)=4-4x3，当f′(x)＞0时，即x＜1时，函数f(x)单调递增；当f'(x)＜0时，即x＞1时，函数f(x)单调递减；∴f(x)的单调递增区间为（-∞，1），单调递减区间为（1，+∞）.（2）证明：设点p的坐标为（x0，0），则x0=413，f′(x0)=-12，曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0)，即g(x)=f′(x0)(x-x0)，令函数F(x)=f(x)-g(x)，即F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)，则F'(x)=f′(x)-f′(x0).由于f′(x)=4-4x3在（-∞，+∞）上单调递减，故F′(x)在（-∞，+∞）上单调递减，又因为F′(x0)=0，所以当x∈（-∞，x0）时F′(x0)＞0，当x∈（x0，+∞）时F′(x0)＜0，所以F(x)在（-∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对于任意实数x，F(x)≤F(x0)=0，即对任意实数x都有f(x)≤g(x).

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