【原】整合两类周期运动

简谐运动的运动规律推导

牛顿第二定律的思路：

-kx=ma，选定位移的参考点为平衡位置，则位移与加速度的方向总是相反。建立一维坐标轴将位移、加速度等矢量标量化后，利用牛二定律得到了前边的表达式。 

想找运动学参量随时间变化的规律，可是上边方程里看不见时间的影子，说明时间是隐含量。k、m结合物理情境，从数学角度来说，对于固定的弹簧振子，是两个常数。好了，线开启数学模式探讨物理问题。          

对位移求导是速度，对速度求导就是加速度，这几乎就是运动学中的宇宙公理。

移向之后变形为    

kx+ma=0

高数中最简单的微分方程，类似于低数中的一元一次方程，那是方程吗？是，简单到你好像觉得不是。不过这个微分方程高中还玩不转，就像高中生对幼儿园的小朋友说一元一次方程特简单一样，你是逗小孩还是气小孩呢？

这个方程这样理解吧，常数先放一放，自己求两次导后和自己反啦，一加是个零蛋。这种函数第一感觉就是正余弦函数，物理上这是一类函数，就叫为正弦函数。          

解之一为：x=Asin(ωt+φ)，

一次求导为：v=Aωcos(ωt+φ)，

两次求导为：a=-Aω²sin(ωt+φ)。

将x和a代入牛二方程得：kA=mω²A。

周期通式也就有了：T=2π/ω

T=2π(m/k)^1/2。         

动能E_k=mv²/2

弹性势能E_P=kx²/2

系统机械能E=E_k+E_P，

联系k=mω²，可知E不变数值上等于最大动能

E_km=m(ωA)²/2，

也等于最大势能E_Pm=kA²/2，

E_km=E_Pm       

辅助匀速圆周运动的思路，类似于几何上做辅助线，为了研究清楚简谐运动的规律，可以借助匀速圆周运动来研究。    

以圆周运动的圆周圆心为坐标原点，建立直角坐标系，初相位为φ，角速度为ω，半径为A。      

          

运动质点在x、y两个方向的位置坐标分别为y=Asin(ωt+φ)；x=Acos(ωt+φ)，

两个方向的速度投影：v_x=-ωAsin(ωt+φ)；v_y=ωAcos(ωt+φ)

圆周运动的周期和两个方向简谐运动的周期一致都是T=2π/ω。

质点做圆周运动的牛二方程为：kA=mω²A，

物理上的周期运动是一家，好像都能用正弦函数拼凑出来。 

一旦从实验的角度认识到简谐运动的位移随时间变化规律为正弦函数，理论上可以借助数学或辅助匀速圆周运动的方式得到速度规律等规律。

通过三角函数把高中阶段两类周期运动：匀速圆周运动和简谐运动联系在一起了。