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开场是一首大家熟悉的溜冰圆舞曲 从纯粹几何的角度来研究圆锥曲线，发现椭圆、抛物线、双曲线都遵从统一的性质，截线上的点到焦点的距离和到准线的距离之比是一个定值，这个定值由截平面的倾斜程度来决定：
上式中的θ角和α角分别是圆锥曲面的母线与轴线之间、截平面与轴线之间的夹角。 这里的“焦点”就是下图中丹德林小球和截平面的切点，称这个切点为焦点，是在发现圆锥曲线的光学性质、并把曲线解析化表达之后才确定下来的。 准线是指图中截平面和丹德林小球球小圆所在平面的交线。 
如果我们把立体图形进行适当简化，就可以非常清楚的看到这些截线的准线位置： 
椭圆有两条准线。分布在长轴两端的外侧，且关于椭圆中心点对称。 
抛物线只有一条准线，在抛物线顶点外侧 
双曲线有两条准线，分别在每一支曲线顶点的外侧，且关于双曲线的对称点对称。 引入解析几何之后，因为只是在截平面上研究曲线的性质，所以圆锥曲线的统一性质中，那个和轴线夹角的余弦比值e，就失去了几何直观上存在的基础，我们现在把这个比值重新定义为离心率： 
比值的基础还是不变，依旧是圆锥曲线上任一点到一个定点与到定直线距离的比值，不过这个比值的计算方法，按照新的设定，被定义为c/a. 从几何关系推导出的e和这个重新定义的离心率e其实是同一个值，也就是说，下列等式关系是存在的： 
我们这里以椭圆为例。 从纯粹几何的角度，可以推导出定长和焦距的直接值(推导过程较为繁复，我这里直接引用结论): 
设图中： 
就有： 
以及焦距2c(两定点之间的距离): 
所以：
当然，你也可以采用投影的方法，把立体几何中的数据投影到平面图形中，来推导上述等式：
上图右图中，如果我们在椭圆的中心点做一条短轴，它和长轴相交于M点，此时短轴的长度等于把椭圆放平之后通过M点的圆的直径长度，也就是如下图所示：
此时：
投影到左图中，就会存在：
左图中，根据正弦定理：
So:
因为：
上式整理后就可以得到：
继续整理可得：
这个证明方法显得很精巧，是在推荐给我的一个视频上偶然看到的，因为很少看到类似的证明，所以感觉很惊奇。在此向这位视频发布者致敬！ 通过以上信息，我们此时可以确信：
有了这个确定的等式，新定义的离心率就能和那些从几何推导出来的性质顺畅的沟通起来，这样的话，我们就可以在平面上，通过解析几何的方式，准确地标定出准线的位置。 至于这些准线的准确位置在哪，方程又是什么，我们下篇短文再继续。
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