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本文摘自马云鹏教授发表于《小学教学》的文章——《如何理解“数与代数”领域学习内容的一致性和阶段性》。 2022年版课标对课程内容进行结构化整合，各领域设置若干学习主题，如“数与代数”领域设有“数与运算”“数量关系”两个学习主题，“图形与几何”领域设有“图形的认识与测量” “图形的位置与运动”两个学习主题，“统计与概率”领域设有“数据分类”“数据的收集、整理与表达”“随机现象发生的可能性”三个学习主题。主题的结构化整合体现了内容之间的关联，每一个主题具有一致性的学科本质。 关注学习主题内容的一致性，有助于引导学生逐步建立相关主题的知识结构，以核心概念为统领，建立内容之间的关联，在学习过程中实现知识与方法的迁移，从而更好地理解和掌握核心知识与方法，形成核心素养。然而，对于主题内容学科本质的一致性的理解不是一蹴而就的，在实际教学中，既要关注一致性，又要明确阶段性，需要处理好一致性与阶段性的关系。以下仅就“数与代数”领域的两个学习主题谈一谈如何理解其一致性和阶段性。 一致性是2022年版课标针对具有共同学科本质的主题提出的，有助于从整体上理解和把握主题的学科本质与核心内容。在“数与代数”领域，之所以把2011年版课标中“数的认识”“数的运算”整合为一个主题——“数与运算”，是因为“数的认识”“数的运算”在本质上具有整体性和一致性。整数、分数、小数都是对数量的抽象，其本质和表达方式具有一致性，都是用抽象的符号表达具体的数量，再用数字和计数单位的组合来表达。 如35、0.35、3/5都是对数量的抽象，分别由数字符号 3、5与数位或分数单位的组合来表达，数位或分数单位都可以理解为计数单位，从这个意义上说，整数、分数、小数具有一致性。小学涉及的运算对象都是数，数的表达的一致性也体现在计算中。如整数、小数中相同数位上的数相加，分数中相同分数单位的数相加，都可以理解为对计数单位的累加，进而可以拓展到四则运算。“数量关系”主题的重点在于解决具体情境中的问题，其一致性体现在数量关系模型的建立和应用中。2022年版课标提出一个加法模型“总量=分量+分量”和两个乘法模型“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”，小学涉及的大部分解决问题的内容都可以归结为这几个数量关系模型及其变式和拓展。一年级开始学习加减法的意义，就是加法模型的雏形，第三学段学习的用字母表示关系和比是数量关系模型的拓展。比是对两个数量倍数关系的表达，也是一种特殊的乘法模型。将数量关系模型作为核心概念，从整体上理解“数量关系”主题，体现了这类内容的一致性，有助于从整体上把握数量关系内容，理解学习内容之间的关联，实现学习过程中知识与方法的迁移，促进学生核心素养的形成和发展。在理解学习主题的一致性的同时，还应重视其阶段性。阶段性是指一个主题内容在不同阶段的表现形式和水平。阶段性要求体现内容一致性的阶段性特征，一致性是在不同阶段的学习进阶过程中逐步实现的。明确主题内容的阶段性，有助于理解和把握不同阶段学习内容的呈现方式和对学生学习的要求。对于“数与运算”主题，2022年版课标第一学段的要求是“理解数位的含义”“会整数加减法”“会简单的整数乘除法”等；相应的，第二学段的要求是“了解十进制计数法”“掌握多位数的乘除法”“感悟分数单位”等；第三学段的要求是“理解小数和分数的意义，感悟计数单位”“能进行简单的小数、分数四则运算”“感悟运算的一致性”等。计数单位是体现数与运算一致性的核心概念，但在不同阶段有不同层次的要求和表现。第一学段的表现是理解整数数位的含义，即不同数位上的数表示不同的值，数的认识和运算都是通过数位理解数的表达和运算的算理。第二学段通过十进制计数法进一步理解数位，同时在分数和小数的初步认识中感悟分数单位。第三学段在理解小数和分数意义的基础上，感悟计数单位和运算的一致性。这样的阶段性要求体现了从整数的数位，到小数的数位和分数中的分数单位（小数的数位本质上也是分数单位，是 1/10 、1/100 、1/1000等），再统一到计数单位的过程。运算的算理也是随着数的认识和计算方法拓展的，学生到第三学段才逐步体验运算的一致性。“数量关系”主题同样在三个学段有阶段性要求。第一学段重点是运用数和运算解决简单的问题；第二学段重点是建立和运用常见的数量关系解决实际问题；第三学段重点是数量关系模型的拓展，利用字母表示关系，以及用比和比例解决问题。“建立和应用数量关系模型解决问题”是“数量关系”主题的一致性表现。第一学段主要是运用四则运算的意义解决问题。这可以看作前模型阶段，是通过在具体情境中分析数量关系解决问题的。四则运算的意义包括合并、去掉、比多少、求相同加数的和、等分除、包含除等，并且需要在实际情境中运用运算的意义理解数量关系，从而解决问题。如： “小华左手有3个气球，右手有5个气球，一共有多少个气球？”利用加法是两部分的合并，列式为3+5=○。第二学段是建立和应用数量关系模型。模型具有一般性，建立模型是在第一学段理解运算意义基础上的抽象，并用字母或文字表达出来。“总量=分量+分量”是对合并、去掉、比多少等具体的数量关系的抽象。同样，两个乘法模型也是对相应数量关系的抽象表达。应用具有一般性的模型可以解决更多的问题。第三学段是数量关系模型的拓展。用字母表示关系具有初步的代数思维的特征，比和比例也是一种数量关系模型，利用这些知识与方法可以解决更多的问题。如上所述，一致性体现了对主题本质的整体理解，阶段性体现了不同阶段的具体要求或水平。在实际教学中，既要从整体上理解主题内容和方法的一致性，又要分析和把握相关内容的阶段性要求，在核心概念的统领下体现学习进阶，以符合学生发展水平和接受能力的形式呈现给相应阶段的学生。对于“数与运算”主题，第一学段应重点引导学生理解整数数位的含义，能表达和运用不同数位上的数表示的数值，以此理解数的意义、数的大小和数的运算。如能说出35中的3表示3个十，5表示5个一；理解22中的两个2表达的数值不同；知道计算25×3时,3乘十位上的2是3个20，是60，3乘个位上的 5是15，所以结果是60+15=75。在形式上与以往的教学基本相同，但从一致性的角度理解，要意识到这里的数位是核心概念“计数单位”的阶段性表现，为以后学习分数、小数做准备。第二学段进一步学习分数单位、小数的数位，这是整数数位的发展。到第三学段，会联系第一、第二学段相关的知识与方法体会计数单位，使学生从整体上理解和把握数与运算的一致性。“数量关系”主题的教学中同样要体现阶段性和学习进阶。如“数量关系模型”这一核心概念，在三个学段应有不同的表现（见图1）。第一学段，学生还没有建立一般性的数量关系模型，主要是运用四则运算的意义分析和解决具体问题。如“操场上参加跳绳的有12个男生、15个女生，一共有多少人跳绳”，基本的数量关系就是“男生的人数+女生的人数=总人数”。由于在该学段学生还没有达到建立“分量+分量=总量”这样一般性的数量关系模型的程度，所以应注重引导学生理解具体情境中的数量关系。第二学段，在第一学段积累的一些用四则运算的意义解决问题的经验基础上，抽象出加法模型和乘法模型，并运用这些模型及其变式和组合分析数量关系、解决问题。“分量=总量-分量”“单价=总价÷数量”“速度=路程÷时间”等都是基本模型的变式。基本模型的组合就是两次或两次以上运用基本模型表达具体情境中的数量关系，如“妈妈买面包花了3.8元，又买了3千克苹果，每千克苹果4.6元，妈妈一共花了多少钱”，基本的数量关系是“分量+分量=总量（一共多少钱）”，其中一个分量要用“总价=单价×数量”表达。所以应注重引导学生运用数量关系模型分析、解决问题，会清楚表达解决问题的思路。第三学段，学习了字母表示关系，就可进一步拓展数量关系模型，可以用字母表示其中的一个数量，从而解决问题，如“弟弟和姐姐一共有180张邮票，姐姐的邮票数是弟弟的3倍，弟弟和姐姐分别有多少张邮票”，基本的数量关系是“弟弟的邮票数+姐姐的邮票数=180”。其中姐姐的邮票数可以用“弟弟的邮票数×3”表示，那么数量关系就成为“弟弟的邮票数+弟弟的邮票数×3=180”。如果弟弟的邮票数用a表示，则数量关系就变为“a+3a=180”，进而得出4a=180，a=180÷4。这是现行教材中用方程解决问题的例子，2022年版课标在小学阶段不出现方程，但将字母表示数拓展为表示关系。教学中可以运用字母表示关系，以及加法模型和乘法模型的组合解决这样的问题。在未使用新教材之前是过渡阶段，可以尝试将原有教材中的相关问题按2022年版课标的要求进行改造，这也是过渡阶段教学研究的一个话题。学习内容的一致性和阶段性是一个需要持续研究的问题，对于每个主题的一致性，应将其在相关学段或单元的阶段性表现体现在具体的教学设计之中，这也是学习内容进阶研究的话题。转载只供学习，无任何商业用途 版权属原作者及出处，如有侵权敬请联系删除。
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