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关于研究李群的李代数最神奇的地方在于，尽管前者是李群中某一点上的方向导数空间，但这些导数几乎定义了整个群体。 这也意味着整个李群及其群体行为，在我们将要探索的意义上，完全由其在恒等元附近任意小的邻域内的群体行为定义。 在李群中，我们真的可以在一粒沙子中看到一个世界！ 广义实流形 李群也是一个流形，即它在局部上类似于欧几里得空间，这意味着其点可以通过参数方程逐块地绘制，这些方程将-维实数空间中包含原点的开集映射到其点的开邻域。这些逐块映射被称为图表（charts），而李群可以通过一个图集（atlas）来绘制，即这些图表的集合。 在大多数流形中，某一点的切空间只是那个点：最佳线性逼近该流形的超平面空间，这个空间在数学上与维实数空间（ 维欧几里得空间）同构。人们期望它在一般情况下对远离该点的流形行为影响有限。而通常情况下确实如此。只要它们及其切空间沿边界兼容，就可以将任意有界可微流形粘合在一起，即首先，边界具有“相同形状”，即等距映射将一个的边界映射到另一个的边界，并反之亦然；其次，同一个等距映射也对两个流形沿边界的切空间做同样的映射。 这是在任意多维上定义实值函数的一种推广，这些函数是沿着不同的实数区间逐块定义的，其并集是整个实数线。这种组合有可能在所有这些点的边界处可微，导数连续，但高阶导数连续。例如，考虑下面逐块定义的函数：
在左右两边，随着
一阶导数趋近于0。当x从负方向（左边）接近零时，导数为0；当x从正方向（右边）接近零时，导数为2x，因此一阶导数是连续的。然而，二阶导数在左边趋近于0，在右边趋近于2。它是不连续的。 对于实变量的实函数和实流形来说，情况甚至更糟。考虑以下情况：
这是一个光滑函数，即其所有阶的导数都是连续的。为了证明这一点，归纳证明第n阶导数的形式是：
其中P(x)是一个多项式，所以P(x) x^(-2n)是一个在x=0处有2n阶极点的有理函数，因此第n阶导数从左右两边都趋近于0。 但即使所有导数都存在，任何包含x=0的开区间内都没有有效的泰勒级数。对于实变量的实函数来说，即使是光滑函数也可能是病态的。更通用的例子是过渡或“隆起”函数，
以及任何具有紧支集的光滑函数（即无限可微的函数，其非零集是紧的）。这些函数都没有有效的泰勒级数。 复数和李群 复变函数的情况与实变函数截然不同。如果这样的函数在一个点的任意小邻域内有一阶导数，那么该邻域内每个点的所有导数都存在，并且，这些导数在该点定义了一个收敛的泰勒级数，有效（收敛至函数）于以该点为中心的任何圆盘，只要圆盘不包含函数的奇点。即收敛半径是从该点到最近奇点的距离。
李群的情况也类似，但结果更为强大。李群也是一个解析流形（analytic manifold），不仅在局部像-维实数空间那样。这个邻域中的群积由一个函数定义
它将点对映射到邻域中的“积”点，这个函数在邻域内有一个有效、收敛的泰勒级数。 二十世纪数学中最令人难以置信且重大的成果之一是，任何群如果其乘积运算在各处都仅需连续（即为拓扑群），同时又是一个流形（在局部像欧几里得空间ℝᴺ），那么这个群必定是一个李群。仅从连续的群乘积中就能定义切空间和导数，并且群乘积在每个地方都是由相应的局部泰勒级数定义的。这个结果，长期以来被大卫·希尔伯特所怀疑，最终由Andrew Gleason、Deane Montgomery和Leo Zippin在1952年发现。 这终于解决了希尔伯特的第五问题：
换句话说，没有连续群不是李群，除了一些高度病态的例子。人们必须做一个“无小子群（no small subgroups）”假设——总有一个恒等元的邻域不包含任何非平凡子群。换言之，恒等元的每个邻域必须至少包含一个元素z，定义了一个“转义序列”z, z², z³, z⁴, … 最终突破该邻域。 这一现象的关键被称为群的同质性（group homogeneity），李群从其作为拓扑群的性质中继承了这一点。
通过构建李群中的一参数子群，最终定义了导数。这些是通过李群定义的实数线的同构像路径：
并且它们必须总是通过群恒等元（为什么？）在零点0（即f(0)=id）。因此f是实数的指数函数。逆像是一个“对数”映射，将单参数群映射到实数线，并且恒等元的对数总是零点。可以通过迭代开方程序为任何李群成员∈构建一参数子群，靠近恒等元来定义上述形式的函数，使得f(1)=在区间[0,1]的密集子集上，然后通过群乘积在整个ℝ的密集子集上。也就是说，我们可以定义ʳ，其中r是0和1之间有限二进制展开的任何有理实数，通过有限的迭代开方的乘积。然后，连续性假设表明，单参数群必须是连续路径。 因此，每个李群∈的成员在恒等元的适当小邻域内定义了一个指数函数和一个“对数”X=log()，其中exp(X)=，因为我们已经找到了exp(sX)=ˢ的意义。 这种迭代开方的想法由Henry Briggs在1620年用来计算他版本的“Napier’s Bones”的刻度，并计算他的对数表。 值得注意的是，1930年代，这一想法再次被Johannes von Neumann和Barteels van der Waerden采用，通过使用纯代数的单参数子群概念来构建通过李群的单参数群路径，作为解决希尔伯特第五问题的惊人步骤，即如果一个拓扑群在局部是欧几里得的（即如果群乘法是连续的），那么令人难以置信的是，它也是无限可微的。 由于李群在局部像欧几里得空间，这些单参数群是通过ℝᴺ的连续路径。在解决希尔伯特第五问题的关键且非常非平凡的步骤是证明这些连续路径可以用来定义微分的概念，而这种概念使得路径实际上是通过ℝᴺ的解析路径。因此，连续性假设自动产生了切空间的概念。李群的恒等元的切空间是其李代数，群作为黎曼流形与其李代数之间的指数和对数映射就像我们上面定义的那样。 要联系这些行为，请注意，去掉0的复平面（即0被移除）连同乘法一起构成了一个阿贝尔李群，其李代数是整个复平面。作为一个实李代数，它是二维的，李代数基元素是i和1。 在李代数中探索意义 因此，我们对指数函数和对数函数有了一个广义的概念，它们在处理的单参数子群时的行为与我们熟悉的在ℝ上的函数完全相同。但特别地，单参数子群总是可交换的——乘积的顺序并不重要——事实上，它要么是ℝ的同构副本，要么是一个圆。对数函数将李群中靠近恒等元的成员映射到李代数中0的邻域；指数函数则做相反的工作，因此用ℝᴺ中0的邻域的笛卡尔坐标绘制了李群的邻域。 李代数，就像任何流形的切空间一样，总是在一个域（通常是实数）上的向量空间，所以了解向量和对应的内容是很有趣的。单参数子群是李代数中直线射线的映像。由于李代数的成员总是代表在群恒等元处C¹路径的切线（方向导数），下面这组明显是通过恒等元的C¹路径及其在李群恒等元处的切线：
使用极限而不是导数来表达同一事物的另一种方式是Trotter乘积公式：
这就是李代数中向量和的意义。 抽象的李代数也在李括号或李积运算下封闭，即这种运算是双线性的、反对称的并满足雅可比恒等式。 在李群中，其李括号可以通过几种方式定义。首先，“从基本原理”出发，通过一组在恒等元处的切线来考虑。我们考虑以下由参数s定义的路径族及其在恒等元处的切线：
由于李代数是一个向量空间，上述操作从一个切线Y开始并将其转换为Ad(exp(sX))Y显然是线性的，我们可以将运算符Ad(exp(sX))表示为一个矩阵。不难证明
即Ad:➝GL(N,ℝ)是从李群到N×N实元素非奇异矩阵的一般线性（矩阵）群的同态。 矩阵群是李群，因为矩阵版本的指数和对数函数由它们在恒等元附近的通常泰勒级数定义，而s↦Ad(exp(sX))定义了通过矩阵李群的C¹（实际上是解析的）路径。然后，矩阵李群中恒等元的切线即是Ad的映像，从而定义了原始李群中的李括号：
底部的最后一个陈述被称为编织恒等式（Braiding Identity）。 ad(X) Y被称为“由X对Y的小a伴随”有时写作：
而Ad自然地被称为“大A伴随”。 如果你比我更聪明，你可能已经注意到上述方程式中一个看似明显的不一致或错误。特别是，我写下了类似Y⁻¹的东西，而我没有定义李群和李代数成员之间的任何乘积。而且，确实，“乘积”意味着很多事情。 为了赋予Y⁻¹意义，我们从一个由函数 () ⁻¹定义的路径开始，其中: ℝ➝定义了另一个通过李群的C¹路径，使得(0)=id，并且，d/d(())，那里的切线，是李代数成员Y。然后 () ⁻¹也是通过李群的C¹路径，并且显然 (0) ⁻¹=id。后者路径在那里有一个切线，是作用在Y上的某个线性算子Ad() Y。我们将 Y⁻¹写为由路径共轭操作()↦ () ⁻¹定义的路径的切线的简写。 在矩阵李群中，不难发现ad(X) Y=[X, Y]=XY — YX，即李括号只是矩阵的交换子。 编织公式 Ad(exp(s X)) = exp(s ad(X)) 允许我们将 Ad(exp(s X)) Y 表示为 X 对 Y 的重复李括号的普遍收敛级数。 还有更多。根据上述定义，雅可比恒等式不过是以下声明：
左边的李括号是李代数 中的李括号。右边的李括号是作用于李代数 的线性算子的李括号，右边的李括号来自于算子复合乘积。完整写出来的上述声明是：
雅可比恒等式的第二个深刻直觉需要一些额外的标记来说明。GL(N,ℝ)中在Ad下的像的子集是什么？它有一个特殊的符号和名称。的一个内自同构是以下形式的映射：
我们将的所有内自同构的集合表示为 Inn()。不难验证 确实是一个同构。然后 Ad() 是在 的恒等元处 的导数，因此 Ad() 是李代数的一个内自同构：
不难验证李代数的内自同构确实关于李括号。此外，Inn() 是一个李群；正如我们所见，它是一个矩阵李群。 顺便一提，可以通过第二个 Trotter 乘积公式给出李括号的另一个定义：
现在回到雅可比恒等式的另一个深刻直觉。它表明李括号是一个导数，即它满足与普通导数相同的莱布尼兹乘积规则，这并不奇怪，因为李群的李代数的成员最终是方向导数。比较以下的操作符 ad(X) 和 d/dx：
注意运算 ad(X) “莱布尼兹分配”在李括号上的方式与操作符 d/dx “莱布尼兹分配”在普通乘积上的方式完全相同。实际上，李代数的另一个含义是李群上所有导数的集合。 那么，李群 Inn() 的李代数 Lie(Inn()) 是什么呢？它正是李代数 上导数的集合 Der()，这又是所有形式为 ad(X) 的小a伴随算子的集合！ 最后，我们想知道李群 与其在 GL(N,ℝ) 中的矩阵李群像之间的同态映射有多“同构”。我们通过找出同态的核来做到这一点，即哪些元素被 big A Ad:➝Inn() 映射到恒等元。不难显示这样的元素是群 的中心 ()，即所有与 的每个元素都交换的正常的阿贝尔李子群：
ad:➝Der() 映射的相应核是所有与 的每个元素的李括号为零的元素的中心 ()：
请仔细思考上面的几段话；即使你花几天时间来吸收它们：我保证它们为你理解李群与其李代数之间的关系提供了坚实的基础。 李群及其李代数之间有许多强大且直观的代数意义。正如我们上面所看到的，这确实是非常奇妙且绚丽的。因此，让我们总结一下上述几点，并用几个交换图来表示。
符“Lie”意味着找到“李代数”。是从到其内自同构的自然投影，与除以其中心()相同。在图的右侧，它是从到对的导数的自然投影，与关于李括号的投影到以()为商的向量子空间相同。 讨论李群中心时有一定的约定。通常人们指的是连续中心，这是一个阿贝尔李子群，拥有非平凡的李代数。因此，例如，SU(2) 被称为一个简单的李群，因为它没有连续中心，其李代数成员都具有非平凡的换位关系。然而，有一个与恒等元隔离的离散中心，即由对角矩阵 diag(-1, -1)= - 1 给出的元素，它与所有元素交换。因此，从严格的非李群理论意义上说，它并不简单。但是，正规子群是离散的，没有李代数，因此有稍微不同的约定。 事实上，李群的任何离散正规子群必然包含在离散中心中，这是Otto Schreier在1925年发现的结果。离散中心与李群的基本群密切相关：SO(3) 没有离散中心，实际上它的中心是平凡群 {id}。它的普域覆盖 SU(2) 有一个离散的中心群 {id,-1}≅ℤ₂。事实上，一个群的离散中心与其基本群同构是一个重要结果。 |
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