一点微分几何

李群是光滑流形范畴中的群对象，任意连通李群存在单连通万有覆盖群，任意连通李群都是单连通李群关于某一正规离散子群的商群，任意李群都是连通李群和某一离散群的半直积（或关于离散群的扩张）。李群的幺连通分支是正规子群，李群的零阶同伦群是离散群。
李群的李代数元素一一对应于 左（右）不变向量场（或函数空间上左（右）不变导子） 一一对应于 李群的单参数子群 一一对应于单位元处切向量 一一对应于 左（右）不变相流
这些对应是自然的，分别称为 指数和对数映射，作用的积分和微分
李代数的泛包络代数是群流形上左不变微分算子全体。在半单情形，其喀什米尔算子相当于拉普拉斯算子，在物理上相当于能量算符，其本征值相当于粒子质量。

李群的李代数完全确定李群的局部结构，特别的完全确定了李群的万有覆盖群。
单连通李群是完备流形？

上面的结论在全纯流形的范畴里也成立，泊松流形范畴中的群对象称为泊松李群，它的局部分析涉及李双代数，和量子群有关。

李群的同态诱导李代数的同态。李群到某个范畴中一个对象的自同构群的（反）同态称为李群在该对象的一个左（右）作用。
李群以内自同构方式作用在自身上，从而诱导出（一次微分）李群在其李代数上的表示称为李群的伴随表示，李群的对偶或余正则表示和辛几何有关，和一些经典物理系统的分析有关。对诱导表示进行微分（二次微分）可得到李代数在其自身的正则表示。李代数的表示一一对应与泛包络代数的表示，李代数的任意线性表示都自然给出一个对称双线性型，它是矩阵代数上对称双线性型的拉回。事实上任意代数的表示都给出一个对称双线性型，即乘积的迹函数Tr（AB）。
李代数正则表示给出的对称双线性型称为基灵形式或嘉当内积，嘉当内积在李代数的自同构作用下不变，在李代数的正则表示下，李代数元素adX是嘉当内积的无穷小对称。
李代数是半单的当且仅当嘉当内积非退化。半单李代数的正则表示是有效表示。关于嘉当内积，李群成为广义黎曼流形，不变向量场成为基灵向量场，喀什米尔算子成为拉普拉斯算子。进一步的分析成为黎曼齐性空间和黎曼对称空间理论。
李群或齐性空间上的等变上同调 以及霍其理论

李群在光滑流形上的作用给出一个作用同态：李群的李代数到流形上向量场李代数（微分同胚群的李代数）的同态，李群的李代数元素在作用同态下的像称为基本矢量场。
李群的光滑作用给出流形切丛的一个可积子丛（不必正则可积），成为流形上的一个李代数胚，它是李群的光滑作用给出的李群胚无穷小形式。

给个链接 http://en./wiki/Lie_group

 

微分几何里讨论纤维丛通常指定丛的结构群和在纤维型上表示。纤维丛具有局部平凡化和转移函数族，是局部笛卡尔积空间，具有同伦提升性质，转移函数族完全确定丛的扭曲方式。在同一底流形上，指定结构的丛的范畴里，把具有相同转移函数族的纤维丛称为相配丛，相配丛的纤维型和结构群在纤维型上的表示可以都不一样，这是丛范畴上的等价关系。相配的丛在本质上具有相同的扭曲方式。
转移函数族是底流形上以结构群为系数的一阶切赫上同调类的代表元，当结构群非交换，切赫上同调仅可定义到一阶。结构群在切赫上同调类上有自然的作用。
相配丛的等价类一一对应于一阶切赫上同调类。

来源：(http://blog.sina.com.cn/s/blog_647e8a1a0100gr1d.html) - 一点微分几何_流形_新浪博客

相配丛的等价类中存在一个特殊的代表元，即主丛，相当于一个单位元或者基底的功能，集中反映了丛的扭曲方式，它相当于是在表示范畴中的正则表示。
等价类中的其他元素可以借助群在纤维型上的表示，通过扭曲积（模掉对角作用）（类似于诱导表示的做法，对应到代数的表示上看就是张量积）而构造出来。所以等价类中的元素只差群在不同纤维型上的不同表示。

给定转移函数族，关于结构群的左正则表示，可以构造一个主丛，对于主丛，若考虑结构群的右正则表示，由于左正则表示和右正则表示可以交换，可以诱导结构群在主丛上的自由右作用，并且主丛关于此右作用的商空间同胚于底流形。

转移函数族完全确定主丛，
主丛的同构类一一对应于一阶切赫上同调类
主丛的自同构群（规范群）定义为与结构群的右作用相容的从同构，是丛同构群的等变子群，可通过底流形上的群丛截面群来实现。


丛的自同构群是丛的保纤维的微分同胚群的正规子群，有如下的正合列：
1->丛的自同构群->保纤维的微分同胚群->底流形的微分同胚群->1。

一个基本的结论：自由的群作用流形上的等变丛一一对应于商流形上的丛，这个对应就是通过扭曲积而实现，类似与诱导表示做法，扭曲积在代数的范畴里就是张量积。

几种具有特殊性质的群作用
群作用按照轨道空间的性质可分为：
传递的当且仅当 只有一个轨道
传递的群作用空间称为齐性空间
自由的当且仅当 每个轨道空间都同胚与群流形

也可以定义多传递性，给定群在一个空间的作用，也可以定义群在空间的乘积空间的作用，这种作用的传递性就是多传递性。
群作用就是群到作用空间的自同构群的同态，该同态是单的则称作用是有效或忠实的。
群的作用可以拉回，即若群A到群B有一同态，则群B的作用可以拉回得到群A的作用，
相伴随的过程称为扩张。扩张就是做扭曲积（张量积）

李群的同构分类和李代数的同构分类的关系
单连通李群的分类和李代数的分类是一样的，连通李群的分类归结于单连通李群的分类和确定单连通李群的离散正规子群。
李代数可以完全确定李群的局部结构，李群的整体结构的分析需要同调和同伦论

李群的表示和李代数表示的关系
单连通李群的表示和李代数表示是一致的
连通李群的表示有的不能提升为万有复叠李群的表示，这样的表示是多值表示，
表示是否可以提升，与表示所对应的上同调类有关
主丛的规范群元可以表示为主丛上的等变群值函数，对应于这样一个群丛的截面：
考虑结构群内自同构作用于自身，关于此表示做扭曲积可得一群丛。该群丛的截面全体构成无限维李群是规范群。
主丛不是群丛，一般没有整体截面，群丛必然有整体截面。主丛有整体截面利用结构群的自由右作用，可证当且仅当主丛平凡
规范群的李代数称为规范代数（流代数）是主丛关于结构群在其李代数上的正则表示的相伴李代数丛，该代数丛的截面全体构成无穷维李代数，一个截面相当于主丛上的李代数值的等变函数。
主丛上的联络是主丛上的一个等变水平分布（水平表示处处横截于纤维，相应的有垂直分布处处相切于纤维），相当于给出平行移动，利用平行移动可以给出相伴丛上的截面的协变导数和协变微分。
由于主丛上有结构群的自由右作用，由作用同态，给出主丛切丛的一个可积子丛，其积分子流形恰是主丛纤维，该可积子丛也称为垂直分布，它是等变分

等变水平分布和垂直分布互补，给出主丛切丛的等变分解，水平分布一般不可积，可积相当于联络零曲率。等变的水平分布给出平行移动，也就是水平提升。
主丛上的联络是主丛上的一个等变水平分布（水平表示处处横截于纤维，相应的有垂直分布处处相切于纤维），相当于给出平行移动，利用平行移动可以给出相伴丛上的截面的协变导数和协变微分。
由于主丛上有结构群的自由右作用，由作用同态，给出主丛切丛的一个可积子丛，其积分子流形恰是主丛纤维，该可积子丛也称为垂直分布，等变水平分布和垂直分布互补，给出主丛切丛的等变分解，水平分布一般不可积，可积相当于联络零曲率。等变的水平分布给出平行移动，也就是水平提升。


···························
主丛上的联络是主丛上的一个等变水平分布（水平表示处处横截于纤维，相应的有垂直分布处处相切于纤维），相当于给出平行移动，利用平行移动可以给出相伴丛上的截面的协变导数和协变微分。
由于主丛上有结构群的自由右作用，由作用同态，给出主丛切丛的一个可积子丛，其积分子流形恰是主丛纤维，该可积子丛也称为垂直分布，它是等变分布，，

它也是一个李代数丛，也可以看做是切丛李代数丛的子代数丛，
其纤维同构于结构群李代数垂直分布是平凡丛。在抹掉群作用之后，可以得到规范代数丛。


等变水平分布和垂直分布互补，给出主丛切丛的等变分解，水平分布一般不可积，可积相当于联络零曲率。等变的水平分布给出平行移动，也就是水平提升。
结构群的右作用保纤维，所以底流形切丛关于丛投射的拉回丛是等变丛，
所以有主丛上的丛的正合列
0->垂直分布->主丛切丛->底流形切丛关于丛投射的拉回丛->0
给出联络相当于给出上述正合列的一个分裂，等变的水平分布和底流形切丛关于丛投射的拉回丛的等变同构，该同构定义了水平提升。
上述正合列模掉群作用，得到底流形上丛的正合列，称为阿提雅序列，正合列的第一项为规范代数丛。

丛函子的可表性 分类空间

丛上的一些自然运算
拉回（纤维积）
外直和 惠特尼和 主丛的约化与扩张
和乐丛 联络的自同构群

G结构和挠率

平行移动给出和乐群，和乐群的大小反映主丛可约化的信息，
和乐群是底流形回路空间（无穷维拓扑群）到主丛切丛纤维的变换群的同态像，联络给出回路空间的表示，当联络可积（零曲率），回路空间的表示变为基本群的表示。
给定联络可以定义威尔逊泛函，它是底流形道路空间（无限维拓扑群胚）上的泛函，
联络可以用等变的李代数值微分形式，它限制在纤维上刚好是齐性空间上的毛利斯嘉当形式，威尔逊泛函通过道路上的指数映射而得到。
和乐群中的元素可以用联络在回路上的非交换积分而得到。
http://en./wiki/Wilson_line



几何郎兰兹应该在复几何里面考虑，
现在好像只是考虑一维的，即黎曼面上的问题。

全纯丛 局部系统 D-模 平联络模空间 OPERS

一点点复几何
近复流形 复流形 凯勒几何 超凯勒几何
全纯联络

Riemann–Hilbert correspondence

In mathematics, the Riemann-Hilbert correspondence is a generalization of Hilbert's twenty-first problem to higher dimensions. The original setting was for Riemann surfaces, where it was about the existence of regular differential equations with prescribed monodromy groups. In higher dimensions, Riemann surfaces are replaced by complex manifolds of dimension > 1, and there is a correspondence between certain systems of partial differential equations (linear and having very special properties for their solutions) and possible monodromies of their solutions.

Such a result was proved independently by Masaki Kashiwara (1980) and Zoghman Mebkhout (1980).


[edit] Statement
Suppose that X is a complex variety.

Riemann-Hilbert correspondence (general form): there is a functor DR called the de Rham functor, that is an equivalence from the category of holonomic D-modules on X with regular singularities to the bounded derived category of the perverse sheaves on X.

By considering the irreducible elements of each category, this gives a 1:1 correspondence between isomorphism classes of

irreducible holonomic D-modules on X with regular singularities,
and

intersection cohomology complexes of irreducible closed subvarieties of X with coefficients in irreducible local systems.
A D-module is something like a system of differential equations on X, and a local system on a subvariety is something like a description of possible monodromies, so this correspondence can be thought of as describing certain systems of differential equations in terms of the monodromies of their solutions.


[edit] References
Borel, Armand (1987), Algebraic D-Modules, Perspectives in Mathematics, 2, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-117740-9
Deligne, Pierre (1970), Équations différentielles à points singuliers réguliers, Springer Lecture notes in Mathematics, 163, OCLC 169357
M. Kashiwara, Faiseaux constructibles et systems holonomes d'equations aux derivees partielles lineaires a points singuliers reguliers, Se. Goulaouic-Schwartz, 1979-80, Exp. 19.
Z. Mebkhout, Sur le probleme de Hilbert-Riemann, Lecture notes in physics 129 (1980) 99-110.
Retrieved from "http://en./wiki/Riemann%E2%80%93Hilbert_correspondence"
Categories: Differential equations | Representation theory


http://en./wiki/Riemann-Hilbe..._correspondence

Local system

In mathematics, local coefficients is an idea from algebraic topology, a kind of half-way stage between homology theory or cohomology theory with coefficients in the usual sense, in a fixed abelian group A, and general sheaf cohomology which, roughly speaking, allows coefficients to vary from point to point in a topological space X. Such a concept was introduced by Norman Steenrod.

In sheaf theory terms, a constant sheaf has locally constant functions as its sections. Consider instead a sheaf F, such that locally on X it is a constant sheaf. That means that in a neighbourhood of any x in X, it is isomorphic to a constant sheaf. Then F may be used as a system of local coefficients on X.

Examples arise geometrically from vector bundles with flat connections, and from topology by means of linear representations of the fundamental group.

The cohomology with local coefficients in the module corresponding to the orientation covering can be used to formulate Poincaré duality for non-orientable manifolds.

Larger classes of sheaves are useful: for example the idea of a constructible sheaf in algebraic geometry. These turn out, approximately, to be local coefficients away from a singular set.

Retrieved from "http://en./wiki/Local_system"
Categories: Sheaf theory | Algebraic topology
Local system

In mathematics, local coefficients is an idea from algebraic topology, a kind of half-way stage between homology theory or cohomology theory with coefficients in the usual sense, in a fixed abelian group A, and general sheaf cohomology which, roughly speaking, allows coefficients to vary from point to point in a topological space X. Such a concept was introduced by Norman Steenrod.

In sheaf theory terms, a constant sheaf has locally constant functions as its sections. Consider instead a sheaf F, such that locally on X it is a constant sheaf. That means that in a neighbourhood of any x in X, it is isomorphic to a constant sheaf. Then F may be used as a system of local coefficients on X.

Examples arise geometrically from vector bundles with flat connections, and from topology by means of linear representations of the fundamental group.

The cohomology with local coefficients in the module corresponding to the orientation covering can be used to formulate Poincaré duality for non-orientable manifolds.

Larger classes of sheaves are useful: for example the idea of a constructible sheaf in algebraic geometry. These turn out, approximately, to be local coefficients away from a singular set.

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Categories: Sheaf theory | Algebraic topology

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