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学霸数学，让你更优秀！ 【问题引入】在一节数学课上，王老师给出一道题：如图1，在ABC中，AB=AC，点D是线段AC上一点，连接BD，在BD延长线上取一点M，使∠BMC=∠BAC，作AN⊥BD垂足为点N，求证：BN=CM+MN
①如图2，小明认为在BD上截取BP=CM，连接AP，只要探究线段MN和线段PN之间的数量关系即可； ②如图3，小强认为：作AQ⊥CM交CM延长线于点Q，只要探究线段BN和线段CQ之间的数量关系即可； 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程； 【类比】 王老师发现这两名同不都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师又提出了下面的问题，请你解答 如图4，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，作AF⊥BD交BD于点E，试探究线段BD、DE和AF之间的数量关系，并证明你的结论 【学以致用】 如图5，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=50°，CA平分BCD，在BC上取一点E，使∠DAE=65°，连接DE，若CE=x，DE=y,CD=z，求BE的长.(用含x，y,z的代数式表示)
解：方法一：BD上截取BP=CM，由∠BMC=∠BAC，得∠ABM=∠ACM(八字模型)，又AB=AC，得△ABP≌△ACM,故AP=AM，又AN⊥PM，故MN=PN，而BN=BP+PN=CM+MN 方法二：作AQ⊥CM交CM延长线于点Q，由∠BMC=∠BAC，得∠ABM=∠ACM(八字模型)，又AB=AC，∠ANB=∠AQC得△ABN≌△ACQ，得BN=CQ，又AN=AQ，AM=AM得△AMN≌△AMQ，得MQ=MN，而CQ=CM+MQ故BN=CM+MN 方法三：在BM延长线上取点H使NH=NB，亦可证明，同学请自行证明；
点评：此题方法很多，主要体现截长补短法. (2)在BD上取点G使EG=ED，由AE⊥BD得∠EAG=∠EAD，同时易知∠ABG=22.5°，∠ABG=∠ADE=90°，∠EAD+∠ADE=90°得∠DAE=∠ABD=22.5°，故∠DAG=45°，得∠BAG=45°，即∠BAG=∠ACF，又AB=AC，∠ABG=∠CAF得△ABG≌△CAF，得BG=AF，BD=BG+DG=BG+2DE，即BD=AF+2DE（也可由下右图进行证明）
(3)过点A作AH⊥CD于点H，AC平分∠BCD得AB=AH且△ACH≌△ACB，同时在CD延长线上取点I，使HI=BE，可得△ABE≌△AHI，得AI=AE，∠HAI=∠BAE，而∠DAH+∠BAE=65°，得∠HAI+∠DAH=65°，即∠DAI=65°，故∠DAI=∠DAE，AD=AD，AE=AI得△ADI≌△ADE，DI=DE=y，CB+CH=CE+CD+DH+BE=CE+CD+DE=x+y+z=2CB，于是CB=
点评：由角平分线联想辅助线的作法，而由角度关系继续作辅助线，从而得到结果.弄懂此题，确实可以打通很多模型.例如八字模型、夹半角模型(第3问). 习题选不好，一学期又白忙！ |
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