【原】【数学思考】拉长思考过程，厘清标准竖式计算的来龙去脉

在刚刚学习除法算式的时候，尤其是除法竖式的时候，就会遇到有学生提出这样的问题，比如除法竖式为什么和其他竖式摆法不一样？除法竖式为什么从高位算起等等。学生（或教师）在自己看书的时候，其实不太能够通过自学的方式看明白教材的意图。

这样的问题其实很有价值。比如在计算68÷4，学生独立摆出的竖式可能和68+4，68-4，68×4类似。至于如何用教材中的标准竖式去计算，也是不太容易理解其过程的。

如果把竖式仅作为程序性知识，逐步呈现计算的步骤和方法并最终写出标准的竖式，那这个过程应该拉长一点。这个计算中的算理是什么，每一步的具体含义是什么，到底分了什么、算了什么、记录了什么，都需要学生完整地经历思考的过程。这就需要提供一些素材、学具以及活动，引导学生在探究的过程中进行观察、对比和辨析，积累具体、丰富的经验，产生追求简洁记录需求的渴望，逐步优化到标准简化的竖式，这样会有更大的价值。

加、减、乘、除竖式计算的本质是将复杂的计算拆分成几个简单的计算，最后将分布计算的结果合并。

因为大脑记忆不了太多，竖式的作用其实就是记录这些分步计算和合并的结果，也就是一种工具。那为什么四种运算的竖式会不一样，这和他们需要记录的内容不一样。

加法，一般是记录每一部分的和，最后再求和。

比如35+37，口算的过程就是5+7=12，30+30=60，60+12=72。先求每部分的和，最后再求和。

减法，一般是记录每一部分的差，最后再求和。

乘法：一般是记录每一部分的积，最后再求和。

除法：一般是记录每一部分的商，还有记录分掉多少，还剩多少，继续均分，最后再把商合并。

所以，因为记录的内容相似，所以加、减、乘法的竖式外形相似。在之前的教材中，教材中一般给的都是最简化的竖式。那竖式的作用是什么，竖式为什么最终写成这样，这些问题之前其实都是默认孩子已经理解了，直接“规定”这样写的。

比如进位加法，人教版教材是这样编排的，呈现的已经是简化的竖式了。

这样就没有把口算和竖式计算的过程更好地联系起来，其方法的一致性也没有得到体现。

新教材中更加强调口算方法与笔算方法的一致性，加强了两者的联系。和原教材相比，左边多了提示语“先用小棒摆一摆”，并把图的过程用算式对应写出来；右边叶增加了提示语“这个过程也可以用竖式表示”，也就是体现了这两个方法是一致的。

另外增加了这个详细的竖式计算过程，这种写法更能体现“分解计算到合并”的计算本质，也是体现把“口算”的三步竖式记录为竖式的过程。最后再用“简写为”来过渡到标准的写法。同时可以增加问一问：“用右边的竖式计算，如果先从十位算起，会遇到什么问题？”激发学生进行对比，进而发现从低位算起的优势。

如果在加法竖式的时候，就有这样完整地过程，那么到了乘法学习时，就能够发现其方法和思路的一致性。这里也应该多关注这个“复杂”的竖式，更好地体现“先分后合”的记录过程，不应该被“忽视”。

新教材中，就把加法、乘法的竖式处理形式保持了一致。口算和竖式具有一致性，并且都增加了“复杂”的竖式，然后简化为标准形式。

而且，新教材还凸显了计数单位，这里的改变也是与时俱进的。相对于加、减、乘法竖式，除法竖式相对于更难一点。

这里60➗3，也就是6个十平均分成3份；36➗2，先分2个十，再分16个一，依然是计数单位的均分。也就是要帮助学生从物的等分上升到计数单位的等分。

当然，通过提示语“如果从高位算起，方便吗？”来引导学生进行对比。通过学具来分，在平均分的过程中突出计数单位的转换。以42÷3为例，学生第一次先分4个十，剩下一个十不够分，必须把1个十换成10个一，将两次平均分的过程加以呈现。

这里引导学生思考竖式写成两层的合理性。学生将两次等分过程与两层竖式一一对应，体现分步记录的合理性，将学具操作、口头算式，竖式书写间进行多向沟通，深刻理解除法竖式是对两次等分过程的记录。

可见，除法的竖式依然也是合理地记录，其实从数学史的角度看，也有一个演变的过程。比如，除法竖式实际上来源于减法，其本质是从被除数中逐次减去除数的倍数，最后将减去的次数统计出来，就是除法的结果。也应该让横式“站起来”，从“复杂”走向“简化”，在不断优化的过程中经历一些“关键节点”，厘清标准竖式计算的来龙去脉，真正理解算理和心中的疑惑。

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